Maths.tex

% !TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt,a4paper,fleqn,pdftex,final]{report}
\include{Preambule}
\externaldocument[PHY-]{Physique}[Physique.pdf]% <- full or relative path 
\begin{document}
\newcounter{density}
\setcounter{density}{20}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Page de Garde
\begin{titlepage}
\newgeometry{left=3cm,bottom=5cm,right=3cm,top=5cm}	
	\begin{center}
		\textsc{}\\[3.5cm]
		\textsc{\Large Cours de Prépa}\\[0.5cm]
		% Title
		\HRule \\[0.4cm]
		{ \huge \bfseries Mathématiques \\[0.4cm] }
		
		\HRule \\[1.5cm]
		
		% Author
		\begin{minipage}{0.4\textwidth}
		\begin{flushleft} \large
		\emphh{Écrit par}\\
		Alexandre \textsc{Jouandin}
		\end{flushleft}
		\end{minipage}
		\begin{minipage}{0.4\textwidth}
		\begin{flushright} \large
		\emphh{Année} \\
		2013---2015
		\end{flushright}
		\end{minipage}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
    \def\couleur{MidnightBlue}
    \path[coordinate] (0,0)  coordinate(A)
                ++( 60:12cm) coordinate(B)
                ++(-60:12cm) coordinate(C);
    \draw[fill=\couleur!\thedensity] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \foreach \x in {1,...,17}{%
        \pgfmathsetcounter{density}{\thedensity+10}
        \setcounter{density}{\thedensity}
        \path[coordinate] coordinate(X) at (A){};
        \path[coordinate] (A) -- (B) coordinate[pos=.15](A)
                            -- (C) coordinate[pos=.15](B)
                            -- (X) coordinate[pos=.15](C);
        \draw[fill=\couleur!\thedensity] (A)--(B)--(C)--cycle;
    }
\end{tikzpicture}
		\vfill
		
	\end{center}
		% Bottom of the page
		{\large \today}
	
\end{titlepage}
\addtocounter{page}{1}
\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début du livre
\part{Première année}
\chapter{Géométrie} % (fold)
\label{cha:geometrie}
\section{Équations générales} % (fold)
\label{sec:equations_generales}
\begin{tabular}{r | l}
     Type       & Équation \\
     Droite     & $ax + by +c = 0$ \\
     Plan       & $ax + by +cz +d = 0$ \\
     Cercle     & $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$ \\
     Sphère     & $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2  + (z-z_0)^2 = R^2$
\end{tabular}
% section equations_generales (end)
% chapter geometrie (end)
\chapter{Calculs algébriques} % (fold)
\label{cha:calculs_algebriques}
\section{Somme des termes d'une suite arithmétique} % (fold)
\label{sec:sommes_arithmetiques}
\begin{dfn}
     Soit $I$ un ensemble fini, et $(x_i)_{i\in I}$ une famille de nombres complexes. \\[\baselineskip]
     La somme des $x_i$ est notée $\sum_{i\in I} x_i$\\
     Le produit des $x_i$ est noté $\prod_{i\in I} x_i$
\end{dfn}
\begin{theorem}[Somme des entiers de $1$ à $n$]
     Pour tout $n$ de $1$ à $n$ : 
     \begin{equation}
     \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n-1)}{2}
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{equation}
     \begin{array}{r c *{4}{c@{\; + \;}} c}
          S & = & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
          +\quad S & = & n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \\
          \hline
          2S & = & n+1 & n+1 & \cdots & n+1 & n+1
     \end{array}
\end{equation}
d'où $2S = n \times (n+1)$, et $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$
\end{proof}
\begin{theorem}[Somme des premières puissances]
    Pour tout $n$ entier naturel non nul, on a : 
    \begin{subequations}
         \begin{align}
              \sum_{k=1}^n k^2 &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
              \sum_{k=1}^n k^3 &= \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} \\
               &= \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2 \notag
         \end{align}
    \end{subequations}
    Les démonstrations de ces formules se font par récurrence (en connaissant le résultat), ou en primitivant.
\end{theorem}
% section sommes_arithmetiques (end)
\section{Coefficients binomiaux} % (fold)
\label{sec:coefficients_binomiaux}
\begin{dfn}
     Pour $E$ un ensemble fini de $n$ éléments, on note $\binom{n}{p}$ le nombre de sous-parties de $E$ à $p$ éléments.
     \begin{equation}
     \binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}
     \end{equation}
\end{dfn}
% section coefficients_binomiaux (end)
% chapter calculs_algebriques (end)

\chapter{Suites}
\begin{dfn}[Borne supérieure]
     On appelle \emph{borne supérieure} d'une partie $F$ d'un ensemble ordonné fini $E$ \emphh{le plus petit des majorants} de $F$.\newline
     En d'autres termes,
     \begin{equation}
      a = \sup F \Leftrightarrow \forall y \in F, \left[ \vphantom{\sum{}} a \le y \Leftrightarrow \left( \forall x \in F, x \le y \right) \right]
     \end{equation} 
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Théorème de la suite monotone]
    \begin{tabbing}
     Soit $\left( u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante de $\Reel{}^\mathbb{N}$. \\
     So\= \kill
     \> Si $(u_n)$ est majorée, alors elle converge \emphhs{vers sa borne supérieure}.\\
     \> Sinon, si $(u_n)$ n'est pas majorée, alors elle admet $+\infty$ pour limite.
     \end{tabbing}
\end{itheorem}
\section{Comparaison de suites}
\begin{dfn}[Suites équivalentes]\label{equivalence}
Deux suites $u_n$ et $v_n$ sont dites \emph{équivalentes}\index{equivalence@Équivalence} en l'infini s'il existe une suite $w_n$ tendant vers 1 en l'infini telle que $u_n = w_n \times v_n$.\\
Autrement dit : 
\begin{empheq}[box = \ibox]{equation}
	u_n \sim v_n \Leftrightarrow \exists w_n \xrightarrow[+\infty]{} 1 \text{ tq } u_n = w_n v_n
\end{empheq}
\end{dfn}
\begin{dfn}[$O(\cdots)$ et $o(\cdots)$]
Si $x_n$ est une suite de $(E,N)^\mathbb{N}$ et $(\alpha_n)$ une suite de $\Reel^\mathbb{N}$ : 
    \begin{equation}
    \begin{array}{r@{\text{, si }}l@{\quad n \ge n_0 \implies}l}
       x_n = O(\alpha_n) & \forall M \in R^+, \exists n_0, \forall n \in \mathbb{N},& N(x_n) \le M|\alpha_n| \\
       x_n = o(\alpha_n) & \forall \varepsilon > 0, \exists n_0, \forall n \in \mathbb{N}, & N(x_n) \le \varepsilon | \alpha_n|
      \end{array}  
    \end{equation}
\end{dfn}
\needspace{3cm}
\begin{dfn}[$O(\cdots)$ et $o(\cdots)$ dans \Reel{}]
\label{dfn:domination_negligeabilite}
    Si $(\alpha_n)_n$ est une suite à valeurs dans $\Reel^{\textcolor{couleurImp}{*}}$, 
    \begin{equation}
    \begin{array}{r@{\text{, \ssi{} }}c}
       x_n \underset{n\to +\infty}{=} O(\alpha_n) & \dfrac{x_n}{\alpha_n} \text{ est bornée.} \\[15pt]
       x_n \underset{n\to +\infty}{=} o(\alpha_n) & \dfrac{x_n}{\alpha_n} \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0
      \end{array} 
    \end{equation}
\end{dfn}
\Attention{Une suite ne peut pas, à notre niveau, être $\sim 0$, en $o(0)$ ou $O(0)$, car la définition dirait que la suite est nulle à partir d'un certain rang.}
\section{Suites de Cauchy} % (fold)
\label{sec:suites_de_cauchy}
\begin{dfn}[Suite de \textsc{Cauchy}]
    Une suite $(x_n)_n$ dans $(E,N)$ est dite de Cauchy si 
    \begin{equation}
    \forall \varepsilon > 0, \exists n_0, \forall (n,p) \in \mathbb{N}^2, n\ge n_0 \implies \boxed{N\big( x_{n+p} - x_n \big)< \varepsilon}
    \end{equation}
\end{dfn}
% section suites_de_cauchy (end)
\section{Suites usuelles} % (fold)
\label{sec:suites_usuelles}
\begin{methode}
\titre{Suite récurrente du premier ordre}
     Soit une suite récurrente linéaire $u_n$ de la forme : 
     \[
        u_{n+1} = a u_n + b
     \]
     \begin{enumerate}
         \item On cherche $\lambda$ un point fixe : $\lambda = a\lambda + b$. On trouve $\lambda = \dfrac{b}{1 -a}$.
         \item On montre que la suite $v_n = (u_n - \lambda)$ est une suite géométrique de raison $a$.
         \item Ainsi, $v_n = a^n v_0 = a^n (u_0 - \lambda)$. D'où $u_n = a^n (u_0 - \lambda ) + \lambda$.
     \end{enumerate}
\titre{Suite récurrente linéaire d'ordre $2$}
Soit une suite récurrente linéaire $u_n$ de la forme : 
     \[
        u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n
     \]
     \begin{enumerate}
         \item On pose la fonction caractéristique : $f(r) = r^2 - a r + b$
         \item On calcule son déterminant $\Delta = (-a)^2 - 4b$. Deux cas se présentent : 
         \begin{itemize}
             \item $\Delta = 0$, alors $\exists ! (\lambda , \mu ) \in \Cmplx^2$ tel que $u_n = (\lambda + \mu n)\left( \dfrac{a}{2}\right)^n$
             \item $\Delta \neq 0$, alors $\exists ! (\lambda , \mu ) \in \Cmplx^2$ tel que $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n $
         \end{itemize}
     \end{enumerate}
\end{methode}
% subsection suites_recurrentes_lineaires (end)
% section suites_usuelles (end)
%
\chapter{Nombres complexes} % (fold)
\label{cha:nombres_complexes}
\section{Plan complexe} % (fold)
\label{sec:plan_complexe}
\begin{dfn}[Corps complexe $(\Cmplx{},+,\times{})$]
     Un \emph{nombre complexe}\index{Complexe} est un élément $(a,b) \in \Reel{}^2$. L'ensemble des nombres complexes est noté \Cmplx{}, c'est un corps muni des lois suivantes : 
     \begin{description}
         \item[Addition] $(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)$\hfill \\de neutre $(0,0)$
         \item[Multiplication] $(a,b) \times (c,d) = (ac - bd, ad + bc)$\hfill \\de neutre $(1,0)$
     \end{description}
\end{dfn}
\begin{theorem}
     $(\Cmplx{},+,\times{})$ est un corps \emphl{(\textit{cf.} tableau \ref{tab:Groupe-Anneau-Corps} page \pageref{tab:Groupe-Anneau-Corps} pour la définition d'un corps)}
\end{theorem}
\begin{dfn}[Module]
     Soit $z=x+iy$ un nombre complexe. On appelle \emph{module}\index{Module} la valeur $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
\end{dfn}
% section plan_complexe (end)
\section{Nombres complexes de module 1} % (fold)
\label{sec:nombres_complexes_de_module_1}
\begin{dfn}
     On note $\mathcal{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module 1.\\
     Le disque unité est l'ensemble de ses points.
\end{dfn}
\needspace{4cm}
\begin{prop}
    \begin{itemize}
        \item $\mathcal{U}$ est stable par le produit $\times$
        \item $z \in \mathcal{U} \Longleftrightarrow \overline{z} = \frac{1}{z}$
    \end{itemize}
\end{prop}
% section nombres_complexes_de_module_1 (end)
% chapter nombres_complexes (end)
\part{Structures algébriques usuelles} % (fold)
\label{prt:structures_algebriques_usuelles}
% Tableau des définitions
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabu}{c r |[1.3pt] *{3}{c|} c |[1.3pt]}
 & & Groupe & Groupe Abélien & Anneau & Corps \\
\tabucline[1pt]{-}
\multirow{4}{*}{\rotatebox[origin=c]{90}{Loi ($+$/$*$)}}
     & Neutre $e$ (ou $0$) & \cellcolor{couleurClaire}\cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Assossiative & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Symétrique (admet $a^{-1}$) & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Commutative &   & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
\tabucline[1pt]{-}
\multirow{5}{*}{\rotatebox[origin=c]{90}{Loi $\times$}}
     & Neutre $1$ & & & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Associative & & & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Distributive de la loi + & & & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Commutative & & & & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
     \cline{2-6} 
     & Inversible & & & & \cellcolor{couleurClaire}\checkmark \\
\tabucline[1pt]{-}
\end{tabu}
\end{center}
\caption{Tableau récapitulatif des définitions}\label{tab:Groupe-Anneau-Corps}
\end{table}
%
\chapter{Groupes et sous-groupes}
\section{Groupes et sous-groupes} % (fold)
\label{sec:definition_d_un_groupe}
\begin{dfn}[Groupe]
     On appelle \emph{groupe}\index{Groupe} le couple $(G,*)$ où $G$ est un ensemble muni d'$*$, une \gls{LCI} associative, symétrique, et admettant un neutre.
\end{dfn}
% section definition_d_un_groupe (end)
\subsection{Produit fini de groupes} % (fold)
\label{sub:produit_fini_de_groupes}
\begin{dfn}[Groupe Produit]
     Soient $(G,*)$ et $(G',\circ)$ deux groupes. \newline
     Le groupe $\left( G\times G', \square \right)$ tel que
     \[
         (x,x')\square (y,y') = (x*y,x'\circ y')
     \]
     est un groupe appelé \emph{groupe produit}\index{Groupe!produit} de $G$ et $G'$
\end{dfn}
\begin{exemple}[Groupe de \textsc{Klein}]\label{ex:groupe_de_klein}
     Le groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ est appelé \emphh{groupe de \textsc{Klein}}\index{Groupe!Klein@\emphi{de }\textsc{Klein}}. C'est un groupe produit, il n'est pas isomorphe à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, et \emphhs{il a la spécificité de ne pas être cyclique}. 
\end{exemple}
% subsection produit_fini_de_groupes (end)
\subsection{Sous-groupe} % (fold)
\label{sec:sous_groupe}
\begin{dfn}[Sous-groupe]
     Soit $(G,*)$ un groupe, et soit $H$ une partie de $G$\\
     On dit que $H$ est un \emph{sous-groupe}\index{Sous-groupe} de $G$ si, muni de la \gls{LCI} $*$, $H$ est un groupe stable par $*$.
\end{dfn}
\needspace{5cm}
\begin{itheorem}[Caractérisation d'un sous-groupe]
     Avec les notations précédentes, $H$ est un sous-groupe de $G$ si : 
     \begin{itemize}
         \item $H$ n'est pas vide
         \item $\forall (x,y) \in H^2,\, x*y^{-1} \in H$.
     \end{itemize}
     En général, pour vérifier que $H$ est non vide, on vérifie que le neutre $e$ de $G$ est aussi dans $G$.
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Intersection de sous-groupes]
     Soit $\left( H_i \right)_{i\in \mathbb{N}}$ une famille de sous-groupes.\\
     Alors $H=\bigcap_{i\in \mathbb{N}} H_i$ est un sous-groupe.
\end{theorem}
\begin{proof}
     Avec les notations précédentes, montrons que $H$ est un sous-groupe : 
     \[
     \begin{array}{r c r}
         \forall i\in \mathbb{N},\, e\in H_i &\implies & e\in H \\
         \forall (x,y)\in H^2,\, \forall i\in \mathbb{N},\, (x,y)\in H_i^2,\text{ donc }x*y^{-1}\in H_i & \implies & x*y^{-1}\in H
     \end{array}
     \]
     Ainsi, $H$ respecte les propriétés de caractérisation d'un sous-groupe, donc $H$ est un sous-groupe.\qed
\end{proof}
\begin{dfn}[Sous-groupe engendré]
     Soit $G$ un groupe, et soit $A$ une partie de $G$. \\
     L'intersection des sous-groupes de $G$ contenant $A$ est le plus petit sous-groupe contenant $A$. On le note $\langle A \rangle$, et on dit que c'est le \emph{sous-groupe engendré}\index{Sous-groupe!engendre@engendré} par $A$.
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Sous-groupes de $\left( \mathbb{Z},+ \right) $]\label{thm:sous_groupe_de_Z}
     Pour tout sous-groupe $H$ de $\left( \mathbb{Z},+ \right),\,\exists n\in \mathbb{N}$ tel que $H=n\mathbb{Z}$
\end{itheorem}
\begin{proof}
     Soit $H$ un sous-groupe. Si $H=\lbrace 0 \rbrace$, alors $H=0\mathbb{Z}$.\\
     Supposons maintenant que $H$ contient au moins un entier. \newline
     Soit \uline{$n$ le plus petit entier} de $H$. Il convient de dire que $n\mathbb{Z}\in H$. \newline
     Soit $m$ un entier quelconque de $H$. Effectuons sa division euclidienne par $n$ : 
     \begin{gather*}
         m = nq+r \quad\quad\quad 0\le r < n \\
         nq\in H,\, m\in H \implies \boxed{r\in H}
     \end{gather*}
     Or $n$ étant le plus petit entier dans $H$, $r$ dans $H$ étant inférieur à $n$, $r=0$, donc $m=nq$\qed
\end{proof}
% subsection sous_groupe (end)
\section{Morphismes de groupes} % (fold)
\label{sec:morphismes_de_groupes}
\subsection{Définition} % (fold)
\label{sub:morphismes_de_groupe_definition}
\begin{dfn}[Morphisme de groupes]
     On appelle \emph{morphisme}\index{Morphisme!groupe@\emphi{de }groupe} d'un groupe $(G,*)$ à un groupe $(H,\times )$ l'application $f$ telle que
     \begin{equation}
     \forall (x,y) \in G^2,\, f \left( x*y \right) = f(x)\times  f(y)
     \end{equation}
\end{dfn}
% subsection morphismes_de_groupe_definition (end)
\subsection{Propriétés d'un morphisme de groupes} % (fold)
\label{sub:proprietes_d_un_morphisme}
\begin{theorem}[Image et image réciproque d'un sous-groupe]
     L'image d'un sous-groupe par un morphisme est un sous groupe. \newline
     L'image réciproque d'une sous-groupe par un morphisme est un sous-groupe\\
     \begin{center}
     \begin{tikzpicture}
     \begin{scope}[rotate around={-40:(-4,0)}] % rotate around={degree:coordinate}
          \draw[color=couleurNoirClair, fill=couleurGrisFonce, line width=1pt] (-4,0) ellipse (2 and 1);
          \draw[dashed, color=couleurNoirClair, fill=couleurGrisClair, rotate around={15:(-3.8,0)}, line width=1pt] (-3.8,0) ellipse(1 and 0.7) (-3.6,0) node{$H$}; 
          \draw (-5.3,0) node{$G$} (-4,0) node{$\bullet$} (-4,0) node[above]{$e$};
     \end{scope}
          \begin{scope}[rotate around={15:(4,0)}] % rotate around={degree:coordinate}
          \draw[color=couleurNoirClair, fill=couleurGrisFonce, line width=1pt] (4,0) ellipse (2 and 1);
          \draw[dashed, color=couleurNoirClair, fill=couleurGrisClair, rotate around={15:(3.3,0)}, line width=1pt] (3.3,0) ellipse(1 and 0.7) (2.6,0) node{$H'$}; 
          \draw (5.3,0) node{$G'$} (4,0) node{$\bullet$} (4,0) node[above left]{$e'$};
     \end{scope}
          \draw[<->, >=latex, line width=2pt, color=couleurFonce] (-3,1) to [bend left=40] node[midway, below]{$f$} (2.1,0.8);
     \end{tikzpicture}
     \captionof{figure}{Image et image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme $f$}
     \end{center}
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Condition d'injectivité d'un morphisme]
     Soit $f$ un morphisme de groupes de $\left( G,* \right) $ dans $\left( H, \times \right) $. Alors : 
     \begin{tabbing}
          $f$ est \= \emphh{surjective} \= $\Leftrightarrow \mathrm{Im} f = H$ \kill
          $f$ est \> \emphh{injective} \> $\Leftrightarrow \mathrm{Ker} f = \lbrace e \rbrace$ \\
          $f$ est \> \emphh{surjective} \> $\Leftrightarrow \mathrm{Im} f = H$
     \end{tabbing}
\end{itheorem}
\begin{prop}
Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes de neutres respectifs $e$ et $e'$. Alors : 
     \begin{itemize}
         \item $f(e) = e'$
         \item $\forall x\in G,\, f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$
     \end{itemize}
\end{prop}
% subsection proprietes_d_un_morphisme (end)
\subsection{Isomorphismes} % (fold)
\label{sub:isomorphismes}
\begin{dfn}[Isomorphisme]
     Un morphisme de groupe \emphh{bijectif} est appelé \emph{isomorphisme}\index{Isomorphisme}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Réciproque d'un isomorphisme]
     La bijection réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme.
\end{theorem}
% subsection isomorphismes (end)
% section morphismes_de_groupes (end)
\section{Groupes monogènes et cycliques} % (fold)
\label{sec:groupes_monogenes_et_cycliques}
\begin{dfn}[Groupe $\big( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+ \big)$]
Un élément de $\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ est la classe des éléments ayant tous le même reste par la division euclidienne par $n$.\newline
$\big( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+ \big)$ est un groupe.
\end{dfn}
E.g.\textit{: Dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, l'élément $\bar{1}$ est la classe des éléments de $\mathbb{Z}$ ayants tous le même reste $\bar{1}$ dans leur division par $3$.}
\begin{theorem}[Générateurs de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$]
     Soit $n\in \mathbb{N}^*$. Les éléments générateurs du groupe $\big( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+ \big)$ sont les classes $\dot{k}$ où $k \wedge n = 1$.
\end{theorem}
\begin{dfn}[Groupe monogène]
     $G$ est un \emph{groupe monogène}\index{Monogene@Monogène}\index{Groupe!monogene@monogène} s'il est engendré par un seul élément $a$, c'est-à-dire si $G = \langle a \rangle$.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Groupe cyclique]
     Un groupe monogène fini est appelé \emph{groupe cyclique}.\\
     Plus visuellement, un groupe monogène est cyclique $G = \langle a \rangle$ s'il peut s'écrire sous la forme : 
     \[G = \left\lbrace e,a,a^2,\ldots,a^n \right\rbrace \]
\end{dfn}
\begin{itheorem}
     Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\mathbb{Z},+)$.\\
     Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ (groupe cyclique d'ordre $n$) est isomorphe à $\big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\big)$.
\end{itheorem}
% section groupes_monogenes_et_cycliques (end)
\section{Ordre d'un élément dans un groupe} % (fold)
\label{sec:ordre_d_un_element_dans_un_groupe}
\begin{dfn}[Ordre d'un groupe]
     L'\emph{ordre}\index{Ordre!groupe@\emphi{d'un} groupe} d'un groupe fini est son cardinal $n$.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Ordre d'un élément dans un groupe]
     Soit $a\in G$. Si $\langle a \langle$ est fini, l'\emph{ordre de $a$}\index{Ordre!element@\emphi{d'un} élément} est le cardinal de ce sous-groupe.
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Théorème de \textsc{Lagrange}]
     Dans un groupe fini, l'ordre d'un sous-groupe est un \emphhs{diviseur} de l'ordre du groupe.
\end{itheorem}
\begin{dfn}[Éléments nilpotents]
Un élément est \emph{nilpotent}\index{Nilpotent} si, composé par lui même, il peut être nul : 
\begin{equation}
\left\lbrace \begin{array}{l} a\text{ nilpotent}\\ a\neq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \exists p \in \mathbb{N}^{\alpha} \text{ tel que } a^p =0 
\end{equation}
\end{dfn}
% section ordre_d_un_element_dans_un_groupe (end)
\section{Classe d'équivalence}
\begin{dfn}[Relation d'équivalence]
Une relation d'équivalence $\mathcal{R}$ est une relation binaire caractérisée de la manière suivante : 
\begin{equation}
\left|
\begin{array}{r l c}
\forall x \in E,& \boldsymbol{x\mathcal{R}x} & \text{\textbf{(Réfléxivité)}}\\
\forall (x,y) \in E^2, & x\mathcal{R}y\implies \boldsymbol{y\mathcal{R}x} &\text{\textcolor{couleurImp}{\textbf{(Symétrie)}}}\\
\forall (x,y,z) \in E^3, & \big( x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}z \big) \implies \boldsymbol{x\mathcal{R}z} & \text{\textbf{(Transitivité)}}
\end{array}
\right.
\end{equation}
\end{dfn}

\begin{dfn}[Relation d'ordre]
Une relation d'ordre $\mathcal{R}$ est également une relation binaire. Elle se caractérise de la manière suivante : 
\begin{equation}
\left|
\begin{array}{r l c}
\forall x \in E,& \boldsymbol{x\mathcal{R}x} & \text{\textbf{(Réfléxivité)}}\\
\forall (x,y) \in E^2, & \big( x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}x \big) \implies \boldsymbol{x=y} & \text{\textcolor{couleurImp}{\textbf{(Anti-symétrie)}}}\\
\forall (x,y,z) \in E^3, & \big( x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}z \big) \implies \boldsymbol{x\mathcal{R}z} & \text{\textbf{(Transitivité)}}
\end{array}
\right.
\end{equation}
\end{dfn}

\Attention{Bien savoir ce que signifient Symétrie et Anti-symétrie}



\begin{theorem}[Indicatrice d'\textsc{Euler}\index{Euler@\textsc{Euler}}]
C'est la fonction $\varphi$ telle que 
\[
    \varphi (n) = \mathrm{Card}\big( \left\lbrace \left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right) ^{*} \right\rbrace \big)
\]
\end{theorem}

%TODO Théorème Chinois
% part structures_algebriques_usuelles (end)
\part{Algèbre}
\chapter{Fonctions convexes} % (fold)
\label{cha:fonctions_convexes}
\section{Parties convexes d'un espace vectoriel réel} % (fold)
\label{sec:parties_convexes_d_un_ev}
\subsection{Barycentre} % (fold)
\label{sub:barycentre}
\begin{dfn}[Barycentre]
     Soit $\big( x_i,\alpha_i\big)_{i\in \mathbb{N}}$ une famille \uline{finie} de points pondérés telle que la somme des coefficients $\sum_i \alpha_i \neq 0$. On appelle \emph{barycentre}\index{Barycentre} des points $x_i$ le point $G$ tel que : 
     \begin{equation}
     G = \dfrac{\displaystyle\sum_i \alpha_i~x_i}{\sum \alpha_i}
     \end{equation}
\end{dfn}
% TODO Rajouter les propriétés des barycentres
\todo{Rajouter les propriétés des barycentres}
% subsection barycentre (end)
\subsection{Partie convexe} % (fold)
\label{sub:partie_convexe}
La partie suivante est copiée de la sous-section~\ref{sub:convexe_connexite} page~\pageref{sub:convexe_connexite} : 
\begin{dfn}[Convexe]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        Un ensemble $E$ est \emphh{convexe}\index{Convexe} si : 
    \begin{equation}
    \forall (x,y) \in E^2, \forall t \in [0,1], \boxed{tx + (1-t)y \in E}
    \end{equation}
    Intuitivement, un ensemble est convexe si on peut relier deux points avec une ligne contenue dans cet ensemble.
    \end{minipage}\hspace{5mm}
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[thick, color=couleurImp] (0.2,0.2) -- (2.7, 0.5);
        \filldraw[fill = couleurClaire, decorate, rounded corners=5mm]%
        (0,0) -- (-0.3,2) -- (3, 2.5) -- (3,0) -- (1.5,1) -- (0.2,-0.5) -- (0,0);
        \begin{scope}
        \clip[decorate, rounded corners=5mm] (0,0) -- (-0.3,2) -- (3, 2.5) -- (3,0) -- (1.5,1) -- (0.2,-0.5) -- (0,0);
        \draw[thick] (0.2,0.2) node{$\bullet$} -- (2.7, 0.5) node{$\bullet$};
        \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \captionof{figure}{Un ensemble \uline{non} convexe}
    \end{minipage}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Intersection de convexes]
     L'intersection d'une famille quelconque de convexes est convexe.\\[\baselineskip]
     \emphh{Remarque :} Ce théorème est même valable pour une famille infinie.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Convexe dans \Reel]
    $I$ de $\Reel{}$ est convexe \emphh{si et seulement si} $I$ est un intervalle de $\Reel{}$
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation à l'aide de barycentres]
     Une partie $X$ de $E$ est convexe \ssi{} le barycentre $G$ de toute famille pondérée finie $\big( x_i,\alpha_i \big)_i$ telle que $\alpha_i \ge 0\; \forall i$ appartient à $X$ : 
     \begin{equation}
     G \in X
     \end{equation}
     (Bien sûr, on a toujours $\sum \alpha_i \neq 0$.)
\end{itheorem}
% subsection partie_convexe (end)
% section parties_convexes_d_un_ev (end)
\section{Fonctions convexes d'une variable réelle} % (fold)
\label{sec:fonctions_convexes_d_une_variable_reelle}
La définition suivante est copiée de la définition~\ref{dfn:convexe_connexite} page~\pageref{dfn:convexe_connexite}.
\begin{dfn}[Fonction convexe]
   \begin{minipage}{0.75\textwidth}
    Une fonction $f : I \mapsto \Reel{}$ est dite \emph{convexe}\index{Convexe} si :
   \begin{equation}
   \forall (a,b) \in I^2, \forall \lambda  \in ]0,1[, \boxed{f(\lambda a + (1-\lambda )b) \le \lambda f(a) + (1-\lambda )f(b)}
   \end{equation}
    \end{minipage}\hspace{2mm}
    \begin{minipage}{0.2\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw [->, >=stealth] (0,0) -- (3.2,0);
        \draw [->, >=stealth] (0,0) -- (0,3.2);
        \draw [thick] (0,0).. controls (0.8,0.2) and (2,1) .. (3,3);
        \draw [color=couleurNoirClair, densely dashed] (0,0) -- (3,3);
    \end{tikzpicture}
    \captionof{figure}{Une fonction convexe}
    \end{minipage}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Position relative du graphe]
     Une fonction est convexe \ssi{} tout arc de son graphe est situé en-dessous de la corde correspondante.
\end{theorem}
\begin{dfn}[Épigraphe]
     Soit $f$ une fonction de graphe $\Gamma_f = \{ (x,y)\in I\times \Reel \: |\: y = f(x)\}$.\\
     On appelle \emph{épigraphe}\index{Epigraphe@Épigraphe} de $f$ l'ensemble $\Gamma_f^+$ des points situés au dessus du graphe $\Gamma_f$. C'est-à-dire : 
     \begin{equation}
     \Gamma_f^+ = \{ (x,y)\in I\times\Reel \: |\: y\ge f(x) \}
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Convexité de l'épigraphe]
     Une fonction est convexe \ssi{} son épigraphe est convexe.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Inégalité de \textsc{Jensen}]
     Soit $f$ une fonction \emphh{convexe} sur un intervalle $I$. \\
     Soit $n\ge 2$. Soit $(x_1,\cdots ,x_n) \in I^n$ une famille de points de $I$. \\
     Pour toute famille de \emphhs{réels positifs} $(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)\in {\left( \Reel^+ \right) }^n$ telle que \[
         \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1
     \]
     l'\emph{inégalité de \textsc{Jensen}}\index{Inegalite@Inégalité!Jensen@\emphi{de }\textsc{Jensen}} donne :
     \begin{equation}
     f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)
     \end{equation}
\end{itheorem}
\todo{Démo épigraphe}
\begin{theorem}
     Soit $f$ une fonction de $\Reel{}$ dans $\Reel{}$ définie sur un intervalle $I$ non vide et non réduit à un singleton.\\
     Pour tout $x\in I$, soit $\Phi_x$ la fonction :
     \begin{equation}
      \Phi_x : t\mapsto \dfrac{f(t) - f(x)}{t-x}
     \end{equation} 
     $f$ est convexe sur $I$ \ssi{}, pour tout $x\in I$, $\Phi_x$ est croissante sur $I\backslash \{x\}$.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Inégalité des pentes]
\label{thm:inegalite_des_pentes}
     Soit $f$ une fonction de $\Reel{}$ dans $\Reel{}$ définie sur un \emphhs{ouvert} $I\in \Reel{}$ tel que $I$ n'est pas réduit à un singleton. \\
     Si $f$ est convexe, alors $f$ est dérivable en tout point de $I$ à gauche et à droite, et pour tout $(x,y) \in I^2$ tel que $x<y$ :
     \begin{equation}
     f'_g(x) \le f'_d(x) \le \dfrac{f(y) - f(x)}{y - x} \le f'_g(y) \le f'_d(y)
     \end{equation}
     \emphh{Remarque :} On déduit de la dérivabilité que $f$ est continue sur $I$.
\end{itheorem}
\begin{dfn}[Fonction concave]
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
    Une fonction $f : I \mapsto \Reel{}$ est dite \emph{concave}\index{Concave} si son opposée $-f$ est une fonction convexe. 
    \end{minipage}\hspace{0.2\textwidth}
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
        \draw [->, >=stealth] (0,0) -- (3.2,0);
        \draw [->, >=stealth] (0,0) -- (0,2);
        \draw [thick] (0,0).. controls (0.4,0.8) and (2,2) .. (3,2);
        \draw [color=couleurNoirClair, densely dashed] (0,0) -- (3,2);
    \end{tikzpicture}
    \captionof{figure}{Une fonction concave}
    \end{center}
    \end{minipage}
\end{dfn}
% section fonctions_convexes_d_une_variable_reelle (end)
\section{Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables} % (fold)
\label{sec:fonctions_convexes_derivables_deux_fois_derivables}
\subsection{Dérivabilité et convexité} % (fold)
\label{sub:derivabilite_et_convexite}
\begin{theorem}[Caractérisation par la dérivabilité]
     Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. \\
     $f$ est convexe sur $I$ \ssi{} sa dérivée $f'$ est croissante sur $I$.
\end{theorem}
\begin{proof}
     Si $f$ est convexe, d'après le théorème~\ref{thm:inegalite_des_pentes} de l'inégalité des pentes, pour $x < y$, on a $f'(x) \le f(y)$. Donc $f'$ est croissante. \\[0.7\baselineskip]
     % Cette partie est copiée intégralement de Vuibert
     Réciproquement, supposons $f'$ croissante, et prenons deux points $x$ et $y$ de $I$ tels que $x < y$. Soient $a$ et $b$ tels que $y = ax + b$ est l'équation de la droite joignant $x$ et $y$. Soit $g(t) = f(t) - (at + b)$, de dérivée $g'(t) = f'(t) -a$ croissante. D'après le théorème~\ref{thm:accroissements_finis} des accroissements finis (page~\pageref{thm:accroissements_finis}), $\exists c\in ]x,y[$ tel que $f'(c) = \dfrac{f(y) - f(x)}{y-x} = a$, c'est-à-dire tel que $g'(c) = 0$. $g'$ étant croissante, elle est négative sur $[x,c]$, et positive sur $[c,y]$. On en déduit le tableau de variation : 
     \begin{center}
     \begin{tabular}{r | c c c c c}
          $t$ & $x$ & & $c$ & & $y$ \\
          \hline
          $g'$& & $-$ & $0$ & $+$ & \\
          \hline
          \multirow{2}{*}{$g$}& $0$ &&&& $0$ \\
                                 &   & $\searrow$ & & $\nearrow$ & 
     \end{tabular}
     \end{center}
     Donc $g$ est toujours négative, donc $f(t) \le (at + b)$ implique que la courbe est toujours en dessous de sa corde, donc $f$ est convexe sur $I$.\\[\baselineskip]
     Ainsi, $f$ convexe $\Longleftrightarrow$ $f'$ est croissante.\qed
\end{proof}
\begin{theorem}[Caractérisation par la dérivée double]
     Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. \\
     $f$ est convexe sur $I$ \ssi{} sa dérivée double $f''$ est positive sur $I$ : 
     \begin{equation}
     f\text{ convexe sur }I\quad \Longleftrightarrow \quad \forall x\in I,\, f''(x)>0
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection derivabilite_et_convexite (end)
\subsection{Position de la tangente} % (fold)
\label{sub:position_de_la_tangente}
\begin{theorem}[Tangentes]
     Le graphe d'une fonction convexe \emphh{dérivable} est au-dessus de chacune de ses tangentes
\end{theorem}
% subsection position_de_la_tangente (end)
\subsection{Exemples d'inégalités de convexité} % (fold)
\label{sub:exemples_d_inegalites_de_convexite}

% subsection exemples_d_inegalites_de_convexite (end)
% section fonctions_convexes_derivables_deux_fois_derivables (end)
% chapter fonctions_convexes (end)
\chapter{Réduction des Endomorphismes}
\begin{methode}
     \titre{Valeurs propres}
     Pour montrer que $\lambda$ est une valeur propre d'un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$, on peut : 
     \begin{itemize}
         \item Revenir à la définition, et trouver un vecteur propre $x$ tel que $u(x) = \lambda x$
         \item Montrer que l'application $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ est non-injective, \uline{c'est-à-dire} que \[\det (f - \lambda \mathrm{Id}_E) = 0\]
         \item Montrer que $\lambda$ est une racine du polynôme caractéristique $\chi_u$ de $u$
         \item On sait que la somme des valeurs propres est égale à la trace
     \end{itemize}
     \titre{Polynôme caractéristique}
     Si on cherche le polynôme caractéristique d'un endomorphisme $u$, ces étapes peuvent permettre d'avancer sa détermination :
     \begin{itemize}
         \item Prendre le polynôme dont les racines sont les valeurs propres de $u$. C'est à dire le polynôme $\prod (X - \lambda_i)$
         \item Reconnaitre les coefficients de degré $n-1$ et $0$ (\textit{cf}. théorème~\ref{thm:coeff_polynome_caracteristique} page~\pageref{thm:coeff_polynome_caracteristique}).
         \item Si la matrice est triangulaire, faire le produit des éléments diagonaux.
     \end{itemize}
     \titre{Polynôme minimal}
     Si on cherche le polynôme minimal d'un endomorphisme $u$ dans l'espace $E$ de \emphhs{dimension finie}, on peut avoir recours aux affirmations suivantes :
     \begin{itemize}
         \item Le polynôme minimal divise le polynome caratéristique. 
         \item Si $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$ d'ordre de multiplicité $m_i$, alors le polynôme minimal est la valeur minimale des $m'_i$ tels que
         \[
             \Pi_u (u) = \bigg( X - \lambda_i \bigg)^{m'_i} (u) = 0
         \]
         \item Si on a un polynôme annulateur $P$, on peut le factoriser pour obtenir les racines. Puisque le polynôme minimal $\Pi_u$ divise $P$, il reste à essayer de combiner ces racines pour obtenir le polynôme de plus petit degré qui annule $u$. 
     \end{itemize}
     \titre{Théorème de décomposition des noyaux}
     En général, dès qu'on voit une somme directe, on utilise le théorème de décomposition des noyaux. \\
     Si on a $P$, un polynôme annulateur de $u$ tel que $P(u) = 0$, alors on a $\mathrm{Ker}P(u) = E$, et si $P(u)$ est le produit de plusieurs polynômes, par exemple $A$ et $B$, on peut écrire 
     \[
         E = \mathrm{Ker} A(u) \oplus \mathrm{Ker} B(u)
     \]
     \titre{Diagonalisation}
Pour vérifier qu'une diagonalisation est possible, se rapporter au théorème~\ref{thm:caracterisation_diagonalisation} page~\pageref{thm:caracterisation_diagonalisation} sur la caractérisation de la diagonalisation. Une fois vérifiée, la diagonalisation peut s'effectuer à l'aide des astuces suivantes : 
\begin{itemize}
    \item Chercher un vecteur propre évident, par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ si les lignes sont toutes de même somme ;
    \item Utiliser des opérations sur des lignes ou des colonnes et développer pour obtenir un déterminant plus simple à calculer ;
    \item Faire un pivot de \textsc{Gauss} pour obtenir une matrice triangulaire (ou éventuellement triangulaire par blocs) ;
    \item Calculer le polynôme caractéristique avec la méthode de \textsc{Sarrus}.
\end{itemize}
\end{methode}
\section{Genéralités}
%
\subsection{Matrices carrées semblables} % (fold)
\label{sub:matrices_carrees_semblables}
\begin{dfn}[Matrices semblables]
     Deux matrices sont dites \emph{semblables}\index{Matrice!semblable} si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Deux matrices sont \emph{semblables} \ssi il existe une matrice $P$ inversible telle que 
     \begin{equation}
     A_1 = P A_2 P^{-1}
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Trace et déterminant]
     Deux matrices semblables ont la même trace et le même déterminant. Ce sont des \emph{invariants de similitude}.% interprétation géométrique du programme
\end{itheorem}
C'est ce dernier théorème qui permet de confirmer l'unicité de la trace et du déterminant d'un endomorphisme.
%TODO: Propriétés de la trace et du determinant
% subsection matrices_carrees_semblables (end)
\subsection{Sous-espace stable par un endomorphisme} % (fold)
\label{sub:sous_espace_stable_par_un_endomorphisme}
\begin{dfn}[Sous-espace stable]
     Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $u$ un endomorphisme de $E$.\newline
     On dit que $F$ est stable par $u$ si :
     \begin{equation}
     \forall x \in F, \, u(x) \in F
     \end{equation}
     On écrit alors que $u(F) \subset F$.\\[0.6\baselineskip]

     La restriction de $u$ à $F$ au départ et à l'arrivée est l'\emph{endomorphisme induit}\index{Endomorphisme!induit}.
\end{dfn}
\Attention{La simple restriction de $u$ à $F$ ($u_{|F}$) est une application de $F$ dans $E$ et ce n'est pas un endomorphisme, alors que l'endomorphisme induit va de $F$ à $F$.}\\[\baselineskip]
\needspace{7cm}
\subsubsection{Traduction matricielle}
On va maintenant voir, conformément au programme, la traduction en termes de matrices. On se place donc dans $E$ qui est cette fois de \emph{dimension finie} $n$.\\
Si on reprend le sous-espace $F$, on peut trouver une base $(e_1, \cdots , e_p)$. Cette base peut être complétée en une base de $n$ vecteurs de $E$ : $\mathcal{B}=(e_1, \cdots , e_p, \cdots, e_n)$. La matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ s'écrit : 
\[
  \begin{blockarray}{ccccc|cccc}
    & e_1 & \BAmulticolumn{2}{c}{\hdots} & e_p & \BAmulticolumn{3}{c}{\hdots} & e_n \\
    \begin{block}{c(cccc|cccc@{\hspace*{5pt}})}
    e_1 & \BAmulticolumn{4}{c|}{\multirow{4}{*}{\scalebox{2.5}{$B$}}}&\BAmulticolumn{4}{c}{\multirow{4}{*}{\scalebox{2.5}{$C$}}}\\
    \multirow{2}{*}{\vdots} & &&&&&&&\\
    & &&&&&&&\\
    e_p & &&&&&&&\\[2mm]
    \cline{1-9}% don't use \hline
    \vdots & \BAmulticolumn{4}{c|}{\multirow{2}{*}{\scalebox{1.5}{$0$}}}&\BAmulticolumn{4}{c}{\multirow{2}{*}{\scalebox{1.5}{$D$}}}\\
    e_n & &&&&&&&\\
    \end{block}
  \end{blockarray}
  \qquad\text{où $B$ est la matrice de l'endomorphisme induit.}
\]
% subsection sous_espace_stable_par_un_endomorphisme (end)
\section{Éléments propres d'un endomorphisme} % (fold)
\label{sec:elements_propres_d_un_endomorphisme}
\begin{theorem}[Droite stable]
     Une \emph{droite} est \emph{stable}\index{Droite!stable} par un endomorphisme $u$ \emphhs{ssi} elle est engendrée par un vecteur propre de $u$.
\end{theorem}
\subsection{Éléments propres}
\begin{dfn}[Valeur propre, vecteur propre]
     Soit $u$ un endomorphisme de $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.\\ 
     Un scalaire $\lambda$ est appelé \emph{valeur propre}\index{Valeur!propre} de $u$ s'il existe un vecteur $x$ \emphhs{non nul} de $E$ tel que 
     \begin{equation}
     u(x) = \lambda x
     \end{equation}
     Si un tel vecteur $x$ existe, on l'appelera \emph{vecteur propre}\index{Vecteur!propre}.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Sous-espace propre]
\label{dfn:sous-espace_propre}
     Avec les notations précédentes, on appelera \emph{\acrfull{sep}}\index{Sous-espace!propre} associé à une valeur propre $\lambda$ le sous-espace vectoriel $E_\lambda$ : 
     \begin{equation}
     E_\lambda = \mathrm{Ker} \left( u - \lambda \mathrm{Id} \right) 
     \end{equation}

     C'est donc le sous-espace de $E$ contenant $0$ et tous les vecteurs propres de $u$.
\end{dfn}
\subsection{Éléments propres en dimension finie} % (fold)
\label{sub:elements_propres_dim_finie}
\Attention{On se place dans un espace $E$ de \emphhs{dimension finie}. Les théorèmes et définitions qui suivent ne sont valables (au programme) que dans ces conditions. }
\begin{dfn}[Spectre]
     Le spectre d'un endomorphisme $u$ de $E$, noté $\mathrm{sp}(u)$, est l'ensemble de ses valeurs propres. 
\end{dfn}
\needspace{5cm}
\begin{theorem}[Famille finie de \gls{sep}]
     La somme d'une famille \emphhs{finie} de \gls{sep} $E_{\lambda_i}$ de valeurs propres $\lambda_i$ deux à deux distinctes est directe : 
     \begin{equation}
     \sum_i E_{\lambda_i} = \bigoplus_i E_{\lambda_i}
     \end{equation}
\end{theorem}
Le programme officiel précise le corrolaire qui va avec : 
\begin{theorem}[Famille de vecteurs propres]
     Toute famille de vecteurs propres dont les valeurs propres associées sont deux à deux distinctes est libre. 
\end{theorem}
\begin{theorem}
  Pour $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie $n$, le \textbf{spectre} de $u$ est fini, et de cardinal \emphhs{au plus} $n$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Deux matrices semblables ont même spectre.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Endomorphismes commutant]
    Soient $u$ et $v$ sont deux endomorphismes d'un espace $E$ de dimension finie. \\
      Si $u$ et $v$ commutent, alors tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$. 
    \end{itheorem}
    \begin{proof}
        Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$, et $E_\lambda$ l'espace propre associé. On a :
	       \[
	      E_\lambda = \mathrm{Ker} (u - \lambda I)
	        \]
        Soit $x_\lambda$ de $E_\lambda$. $x_\lambda$ est un vecteur propre de $u$.
        Pour montrer qu'un sous-espace propre de $u$ est stable par $v$, \emphh{il faut montrer que $v(x_\lambda) \in \mathrm{Ker}(u - \lambda I)$}. Or :
        \begin{align*}
             (u - \lambda I)\circ v (x_\lambda) &= u\circ v(x_\lambda) - \lambda v( x_\lambda) \\
             &= v\circ u(x_\lambda ) - v(\lambda  x_\lambda) \\
             &= v\bigg( u(x_\lambda) - \lambda x_\lambda \bigg) 
             \intertext{D'où :}
             (u - \lambda I)\circ v (x_\lambda) &= 0
        \end{align*}
        Donc $v$ est stable par tout \gls{sep} de $u$.\qed
	\end{proof}
\begin{dfn}[Éléments propres d'une matrice]
		Soit $A$ une matrice carrée de $E$ un espace de dimension finie. \newline
		On appelle \emph{valeur propre}\index{Valeur!propre} de $A$ un scalaire $\lambda$ pour lequel il existe $X$ tel que :
		\begin{equation}
			  AX = \lambda X
        \end{equation}
        Si ce vecteur $X$ existe, on l'appelle \emph{vecteur propre}\index{Vecteur!propre} de la matrice $A$ pour la valeur propre $\lambda$.\\[\baselineskip]
        Par extension, on définit le \gls{sep} d'une matrice de manière similaire à la définition~\ref{dfn:sous-espace_propre} page~\pageref{dfn:sous-espace_propre}. L'ensemble des valeurs propres d'une matrice forme son spectre $\mathrm{sp}(A)$.
\end{dfn}
% subsection elements_propres_dim_finie (end)
% section elements_propres_d_un_endomorphisme (end)
\section{Polynôme Caractéristique}
Pour une matrice carrée $M$, on cherche un polynôme dont les valeurs propres sont les racines. C'est alors qu'est né le polynôme caractéristique. 
\begin{dfn}[Polynôme caractéristique]
Soit $u$ un endomorphisme de $E$, un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de \emphh{dimension finie} $n$. Soit $M$ sa matrice dans une base associée $\mathcal{B}$. \\
Le \emph{polynôme caractéristique} de $u$, noté $\chi_u$, est le déterminant de l'application $\left( u - X \, \mathrm{Id}_E \right)$\newline
De même, le \emph{polynôme caractéristique}\index{Polynome@Polynôme!caracteristique@caractéristique} de la matrice $M$, noté $\chi_M$, est le déterminant de la matrice $\left( M - X \, I_n \right)$
\begin{equation}
    \chi_u = \det\left( u - X \, \mathrm{Id}_E \right) \\ 
    \chi_M = \det\left( M - X \, I_n \right)
\end{equation}
Ce polynôme est de degré $n$. Le polynôme caractéristique doit être \emphhs{unitaire}.\newline Bien sûr, on a :
\begin{equation}
\chi_u = \chi_M
\end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.
\end{theorem}
\begin{proof}% Je garde ou j'enlève cette démo trop simple ?
     \textbf{(Facile)} \\
     Soient $A$ et $A'$ nos deux matrices semblables. Elles représentent le même endomorphisme $u$ dans des bases différentes. Donc 
     \[
        \left\lbrace
        \begin{array}{r c l}
          \chi_u &=& \chi_A \\
          \chi_u &=& \chi_{A'}
        \end{array}
        \right.
     \]
     D'où $\chi_A = \chi_{A'}$.\qed
\end{proof}
\begin{itheorem}[Valeurs des coefficients de degrés $0$ et $n-1$]\label{thm:coeff_polynome_caracteristique}
Pour une matrice $M$ de rang $n$, on peut obtenir quelques coefficients du polynôme caractéristique : 
\[ 
\chi_M = (-1)^n X^n + \textcolor{couleur1}{(-1)^{n-1}\,\tr\left( M \right)}\times X^{n-1} + \cdots + \textcolor{couleur2}{\det\left( M \right)}
\]
Pour une matrice de rang 2, le polynôme caractéristique est donc donné par
\begin{empheq}[box=\ibox]{equation}
 \chi_M = X^2 - \tr (M)\, X + \det (M)
\end{empheq}

\end{itheorem}
\begin{proof}
     Il suffit de développer le polynôme caractéristique, en sachant que les valeurs propres sont les racines, puis d'identifier.
\end{proof}
%TODO: multiplicité valeur propres
\begin{theorem}[Polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire]
% Merci Wikipedia pour la matrice
     Soit $A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & \ldots & a_{1,n} \\
0       & a_{2,2} & \ldots & \ldots & a_{2,n} \\
\vdots  & \ddots  & \ddots &        & \vdots  \\
\vdots  &         & \ddots & \ddots & \vdots  \\
0       & \ldots  & \ldots & 0       & a_{n,n}
\end{pmatrix}$ une matrice triangulaire supérieure.\\[0.6\baselineskip]
Le polynôme caractéristique de cette matrice est 
\begin{equation}
\chi_A = \det (A - X\, I_n) = \prod (a_{i,i} - X)
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit]
     Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit de $u$ divise $\chi_u$.
\end{theorem}
\section{Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables}
\label{sec:diagonalisation}
\subsection{Endomorphisme diagonalisable}
\begin{dfn}[Endomorphisme diagonalisable]
     On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est \emph{diagonalisable}\index{Diagonalisable!endomorphisme} s'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est \emphhs{diagonale}.\\
     On verra au théorème~\ref{thm:caracterisation_diagonalisation} que cette base $\mathcal{B}$ est constituée des vecteurs propres.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Quelques définitions]
Quelques définitions portant sur les polynômes : 
    \begin{description}
    \item[Racine simple] Une racine $\alpha$ du polynôme $P$ est dite simple si elle n'est pas multiple. On dit que son \uline{ordre de multiplicité est égal à $1$}.
    \item[Polynôme scindé] $P$ est scindé s'il peut s'écrire comme \uline{le produit de polynômes du premier degré}.
    \end{description}
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Caractérisation de la diagonalisation]\label{thm:caracterisation_diagonalisation}
    On donne des équivalences à ``$u$ diagonalisable'' : 
    \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}% Compter en (i), (ii)...
    \begin{enumerate}
        \item $E$ admet une base formée des vecteurs propres de $u$ ;
        \item $E$ est somme directe des espaces propres de $u$ : $E = \bigoplus_{\lambda\in \mathrm{sp}(u)} E_\lambda$ ;
        \item $\dim E = \sum \dim E_\lambda $ ;
        \item le polynôme caractéristique $\chi_u$ de $u$ est scindé, et $\omega (\lambda ) = \dim (E_\lambda)$ ;
        \item le polynôme minimal $\Pi_u$ de $u$ est scindé à racines simples ;
        \item $u$ possède au moins un polynôme annulateur scindé à racines simples ;
        \item $u$ admet pour matrice une matrice diagonalisable.
    \end{enumerate}
\end{itheorem}
Enfin, une condition juste suffisante pour diagonaliser un endomorphisme : 
\begin{theorem}[Condition suffisante de diagonalisation]
     Si $u$ admet $n = \dim E$ valeurs propres distinctes deux à deux, alors $u$ est diagonalisable.
\end{theorem}
%
\subsection{Matrice diagonalisable}
\begin{dfn}[Matrice diagonalisable]
     Une matrice carrée $A$ est dite \emph{diagonalisable}\index{Diagonalisable!matrice} si l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé est diagonalisable.
\end{dfn}
On se servira plutôt du théorème suivant comme définition :
\begin{itheorem}
      Une matrice carrée $A$ est diagonalisable \ssi{} elle est semblable à une matrice diagonale $D$ : 
     \begin{equation}
      \exists P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\, \qquad A = PDP^{-1}
      \end{equation} 
      $P$ est la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{K}^n$ à une base de vecteurs propres de $A$.
\end{itheorem}
On peut alors traduire matriciellement tous les théorèmes vus dans la section précédente, notamment le théorème~\ref{thm:caracterisation_diagonalisation} page~\pageref{thm:caracterisation_diagonalisation} qui caractérise la diagonalisation.
% section diagonalisation (end)
\section{Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables} % (fold)
\label{sec:endomorphismes_et_matrices_carrees_trigonalisables} 
\begin{dfn}[Endomorphisme trigonalisable]
     On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est \emph{trigonalisable}\index{Trigonalisable!endomorphisme} s'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est \emphhs{triangulaire supérieure}.
\end{dfn}
% Bizarrement, le programme officiel définit dans le sens opposé la trigonalisation. En trigonalisation, c'est à partir d'une matrice, en diagonalisation, c'est à partir d'un endomorphisme.
\begin{dfn}[Matrice trigonalisable]
     Une matrice carrée $A$ est dite \emph{trigonalisable}\index{Trigonalisable!matrice} si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure $T$ : 
     \begin{equation}
      \exists P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\, \qquad A = PTP^{-1}
      \end{equation} 
\end{dfn}
\begin{theorem}[Autre ``définition'']
     Une matrice carrée est trigonalisable \ssi{} l'endomorphisme $u$ canoniquement associé est trigonalisable.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation de la trigonalisation]
     Un endomorphisme $u$ est trigonalisable \ssi{} son polynôme caractéristique ou son polynôme annulateur est scindé.\\
     Plus généralement, $u$ est trigonalisable \ssi{} $u$ possède au moins un polynôme annulateur scindé.
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Trigonalisation dans $\mathbb{C}$]
     Tout endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel est trigonalisable.
\end{theorem}
Ces deux théorèmes peuvent également se traduire matriciellement.
% section endomorphismes_et_matrices_carrees_trigonalisables (end)
\section{Endomorphismes nilpotents} % (fold)
\label{sec:endomorphismes_nilpotents}
\subsection{Définition}
\begin{dfn}[Endomorphisme nilpotent]
     On dit qu'un endormorphisme $u$ est \emph{nilpotent}\index{Nilpotent} d'indice $p\ge 1$ si $u^p = 0$ avec $u^{p-1} \neq 0$.
\end{dfn}
\subsection{Propriétés en dimension finie} % (fold)
\label{sub:proprietes_en_dimension_finie}
\begin{theorem}[Endomorphisme nilpotent trigonalisable]
     Un endomorphisme $u$ dans un espace $E$ de dimension finie est nilpotent \ssi $u$ est trigonalisable avec $0$ pour seule valeur propre.
\end{theorem}
%TODO: demo? (Très facile)
\begin{theorem}[Majoration de l'indice de nilpotence]
     Dans un espace $E$ de dimension $n$, l'indice de nilpotence d'un endomorphisme ne dépasse pas $n$. \par
     Si $u$ est nilpotent d'indice $n$, il existe une base $\mathcal{B}$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme :
     \begin{equation}
     J_n=
     \begin{pmatrix}
             0   &         1       &    0   & \cdots &    0   \\
          \vdots &      \ddots     & \ddots &        & \vdots \\
          \vdots &                 & \ddots & \ddots & \vdots \\
          \vdots & \scalebox{2}{0} &        & \ddots &    1   \\
             0   &      \cdots     & \cdots & \cdots &    0  
          %   0   & \hdotsfor{3} & 0
     \end{pmatrix}
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection proprietes_en_dimension_finie (end)
% section endomorphismes_nilpotents (end)
\section{Polynômes d'un endomorphisme} % (fold)
\label{sec:polyn_mes_d_un_endomorphisme}
\begin{dfn}[Polynôme d'un endomorphisme]
     Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et $u$ un endomorphisme de $E$. \newline
     Pour tout polynôme $P = \sum_{k=0}^p a_k X^k$, on définit l'endomorphisme 
     \begin{equation}
     P(u) = \sum_{k=0}^p a_k u^k
     \end{equation}
     $P(u)$ est appelé \emph{polynôme de l'endomorphisme}\index{Polynome@Polynôme!endomorphisme@\emphi{d'un }endomorphisme} $u$.
\end{dfn}
\needspace{3cm}
\begin{theorem}[Morphisme d'algèbre $P \mapsto P(u)$]
     Pour $u$ dans $\mathscr{L}(E)$, l'application $P \mapsto P(u)$ est un \emphhs{morphisme d'algèbre} de $\mathbb{K} [X]$ dans $\mathscr{L}(E)$.\\
\end{theorem}
%todo Noyau et image de ce morphisme
\todo{Noyau et Image de ce morphisme}
\subsection{Polynôme minimal}
\begin{dfn}[Polynôme minimal]
% Il existe un \uline{unique} polynôme \uline{unitaire} $\Pi_{\varphi}$ appelé le polynôme minimal tel que pour tout morphisme $\varphi{}$, $\Pi_{\varphi}(\varphi{}) = 0$ \textcolor{couleurFonce!70}{CÀD} $\left( \Pi_\varphi \right) = \mathrm{Ker}(\varphi{})$
Soit $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathbb{K}$-espace vectoriel. \\
On appelle \emph{polynôme minimal}\index{Polynome@Polynôme!minimal} l'unique polynôme $\Pi_u$ \emphhs{unitaire} et \emphhs{non nul}, s'il existe, tel que $\Pi_u$ annule $u$ et soit de plus petit degré ($\forall~Q$ diviseur de $\Pi_u$ distinct de $\Pi_u$, $Q(u)\neq 0$).
\end{dfn}
\begin{theorem}%TODO: fix title [Base de $\mathbb{K} [u]$]
     Si $d$ est le degré du polynôme minimal $P_u$ de $u$, alors la famille $(u^k)_{k \in \left[ 0 , d-1 \right] }$ est une base de $\mathbb{K} [u]$.
\end{theorem}
\begin{proof}
     Soit $d$ le degré minimal du polynôme minimal $P_u$. La famille $(\mathrm{Id}, u, u^2, \ldots , u^{d-1} )$ est libre. 
     %TODO: Finir cette demo (p. 84 dans le livre de Vuibert)
\end{proof}
\subsection{Valeur propre et polynôme annulateur} % (fold)
\label{sub:valeur_propre_et_polynome_annulateur}
\begin{theorem}
     Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{K} [X]$.\\
     Pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$, $P(\lambda)$ est une valeur propre de $P(u)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
     \begin{align*}
         u(x) = \lambda x   &\implies u^k(x) = \lambda^k x \\
                            &\implies P(u)(x) = \sum_k a_k~u^k(x) = P(\lambda)x
     \end{align*}
     On remarque que le vecteur propre associé à $\lambda$ est aussi associé à $P(\lambda )$.\qed
\end{proof}
\begin{itheorem}
     Si $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est une racine de $P$.
\end{itheorem}
\begin{proof}
     On se sert du théorème précédent : 
     \begin{align*}
          P(u) = 0 &\implies P(u)(x) = 0\\
                   &\implies P(\lambda)x = P(u)(x) = 0
     \end{align*}
     Puisque $x\neq 0$, on retrouve que $\lambda$ est racine de $P$.\qed
\end{proof}
% subsection valeur_propre_et_polynome_annulateur (end)
\subsection{\textsc{Cayley}-\textsc{Hamilton}} % (fold)
\label{sub:Cayley-Hamilton}
\begin{itheorem}[\textsc{Cayley-Hamilton}%
\index{Cayley-Hamilton@\textsc{Cayley-Hamilton}}]
Si $u$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel \uline{fini}, alors le polynôme caractéristique $\chi_u$ est un polynôme annulateur de $u$. \\
Le polynôme caractéristique est donc un multiple du polynôme minimal. 
\end{itheorem}
% subsection Cayley-Hamilton (end)
% section polyn_mes_d_un_endomorphisme (end)
\section{Lemme de décomposition des noyaux} % (fold)
\label{sec:lemme_de_decomposition_des_noyaux}
%TODO: voir démo
\begin{subequations}
\begin{theorem}[Théorème de décomposition des noyaux]
     Soient deux polynomes $P$ et $Q$ de $\mathbb{K} [X]$. Pour $P$ et $Q$ \emphh{premiers entre eux} : 
     \begin{equation}
     \mathrm{Ker}\left[ (PQ)(u)\right] = \mathrm{Ker}\left[ P(u) \right] \oplus \mathrm{Ker}\left[ Q(u) \right]
     \end{equation}
\end{theorem}
Maintenant, on va voir le théorème dans une forme plus générale, qu'on déduit par récurrence sur le théorème précédent.
\begin{itheorem}[Théorème de décomposition des noyaux]
     Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et $u$ un endomorphisme de $E$.\newline
     Si $A_1,\cdots,A_p$ sont des polynômes de $\mathbb{K}[X]$ \emphhs{premiers deux à deux}, alors :
     \begin{equation}
     \mathrm{Ker}\bigg( (A_1\times A_2 \times \cdots \times A_p)(u) \bigg) 
            = \bigoplus_{i=1}^p \mathrm{Ker}\big( A_i (u) \big)
     \end{equation}
     
\end{itheorem}
\end{subequations}
% section lemme_de_decomposition_des_noyaux (end)
\section{Polynômes annulateurs et diagonalisabilité} % (fold)
\label{sec:polynomes_annulateurs_et_diagonalisabilite}
%
\todo{Bouger \textsc{Grass}-dude}
\begin{theorem}[Formule de \textsc{Grassman}] % Qu'est-ce que ça fout là ?
     \index{Grassman@\textsc{Grassman}}Si $V$ et $W$ sont deux espaces vectoriels de \emphh{dimension finie} de $E$ alors :
     \begin{equation}
     \dim (V+W) = \dim V + \dim W - \dim (V\cap W)
     \end{equation}
\end{theorem}
% section polynomes_annulateurs_et_diagonalisabilite (end)
\section{Endomorphismes à polynôme minimal scindé} % (fold)
\label{sec:endomorphismes_polynome_minimal_scinde}
\begin{dfn}[Sous-espace caractéristique]
     Soit $u$ un endomorphisme trigonalisable de $E$. Son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé : 
     \[
         \chi_u = \prod_{i=1}^k \big( X - \lambda_i \big)^{m_i}
     \]
     On appelle \emph{sous-espace caractéristique}\index{Sous-espace!caracteristique@caractéristique} de $u$ les sous-espaces : 
     \begin{equation}
     F_{\lambda_i}(u) = \mathrm{Ker} (u-\lambda_i \mathrm{Id}_E)^{m_i}
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Décomposition avec les sous-espaces caractéristiques]
     Soit $u$ un endomorphisme pour lequel il existe un polynôme annulateur scindé (c'est-à-dire $u$ est trigonalisable). \\
     L'endomorphisme $u_i : F_{\lambda_i} \to F_{\lambda_i}$ induit par $u$ dans $F_{\lambda_i}$ est la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent.
\end{theorem}
\begin{proof}
     On a :
     \[ u_i = \lambda_i \mathrm{Id}_E + (u_i - \lambda_i \mathrm{Id}_E) \]
     Ici, $\lambda_i \mathrm{Id}_E$ est une homothétie.\\
     De plus, $(u_i - \lambda_i \mathrm{Id}_E)^{m_i} = 0$ par définition de $F_{\lambda_i}$, donc $(u_i - \lambda_i \mathrm{Id}_E)$ est un endomorphisme nilpotent.\qed
\end{proof}
% section endomorphismes_polynome_minimal_scinde (end)
% chapter Reduction (end)
\chapter{Topologie des espaces vectoriels normés}
\begin{methode}
     \titre{Application continue}
     Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit une application continue $f : E \to F$.
     \begin{itemize}
         \item $f : A\in E\to F$ conserve : 
         \begin{itemize}
            \item les parties compactes
            \item les parties connexes par arcs
         \end{itemize}
         \item $f^{-1} : F \to E$ conserve :
         \begin{itemize}
             \item les parties fermées
             \item les parties ouvertes
         \end{itemize}
     \end{itemize}
\end{methode}
\section{Normes et espaces vectoriels normés}
\subsection{Rappels} % (fold)
\label{sub:rappels}
\begin{dfn}[Espace vectoriel]
     Soit $\mathbb{K}$ un corps ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).\newline
     $E$ est un $\mathbb{K}$-\emph{espace vectoriel}\index{Espace!vectoriel} s'il respecte les conditions suivantes : 
     \begin{equation}
        \left| 
      \begin{array}{c l l l}
       (i)  &(E,+) \text{ est un }&\text{\textcolor{couleur4}{\bf\underline{groupe abélien}}}&\textbf{Groupe pour la loi }+\\
       (ii) &\forall x\in E,& \textcolor{couleur4}{{1\cdot x = x}}&\textbf{Neutre multiplicatif}\\
       (iii) &\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2, \forall x\in E,& \textcolor{couleur4}{{(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x}} &\textbf{Distributivité pour }\boldsymbol{\mathbb{K}} \\
       (iv) &\forall \alpha \in \mathbb{K}, \forall (x,y) \in E^2,& \textcolor{couleur4}{{\alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y}} &\textbf{Distributivité pour }\boldsymbol{E}\\
       (v) &\forall \alpha \in \mathbb{K}, \forall (x,y) \in E^2,& \textcolor{couleur4}{{\alpha \cdot (\beta \cdot y) = (\alpha \cdot \beta ) \cdot x}} &\textbf{Associativité}
      \end{array}
        \right.
     \end{equation}
     
\end{dfn}
% subsection rappels (end)
\subsection{Norme}
\begin{dfn}[Définition de la norme]
Soit $E$ un espace vectoriel de
$\mathbb{K}$. Une \emph{norme}\index{Norme} 
est une application $N : E \to \mathbb{R}^+$ vérifiant : 

\begin{equation}
\left| 
\begin{array}{c l l}
(i)&\forall x \in E, N(x)=0 \implies x=0 &\textbf{Séparation}\\
(ii)&\forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}, N(\lambda x)=|\lambda|N(x) &\textbf{Homogénéité}\\
(iii)&\forall (x,y) \in E^2, N(x+y)\le N(x)+N(y)&\textbf{Inégalité triangulaire}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
\index{inegalite@Inégalité!triangulaire}

Et le couple $(E,N)$ est l'\index{Espace!norme@normé}\emph{espace
vectoriel normé} associé.
\end{dfn}
\begin{theorem}[Norme $N_2$\index{Norme!Euclidienne}]
$N_2 : f \mapsto \left( \int \limits_{[a,b]} |f|^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ est une norme sur $\mathcal{C}\left( [a,b], \mathbb{K} \right)$
\end{theorem}
\subsection{Distance} % (fold)
\label{sub:distance}
Il y a plusieurs manières de définir la distance. Si on se place dans un espace vectoriel normé, on peut utiliser la norme pour définir la distance, comme dans la définition~\ref{dfn:Distance_Norme}. Sinon, si l'espace est quelconque, la distance peut avoir la définition générale suivante : 
\begin{dfn}[Distance dans un espace quelconque]
Soit $E$ un ensemble. On appelle \emph{distance} dans $E$ toute application $d : E\times E \to \mathbb{R}^+$ telle que :
     \begin{equation}
        \left| 
        \begin{array}{c l l l}
        (i)&\forall x \in E,& d(x,y)=0 \implies x=y &\textbf{Séparation}\\
        (ii)&\forall (x,y) \in E^2,& d(x,y) = d(y,x) &\textbf{Symétrie}\\
        (iii)&\forall (x,y,z) \in E^3,& d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)&\textbf{Inégalité triangulaire}\\
        \end{array}
        \right.
        \end{equation}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Distance associée à une norme]\label{dfn:Distance_Norme}
     Soit $(E,\| \cdot \|)$ un espace vectoriel normé\newline
     La \emph{distance}\index{Distance} $d$ associée à la norme $\| \cdot \|$ est l'application :
     \begin{equation}
     \begin{array}{r @{\,}c@{\,} c @{\,}c@{\,} @{\,} l}
     d &: &E^2 &\to &\mathbb{R}^+ \\
        & &(x,y) &\mapsto & \| x - y \| 
        \end{array}
     \end{equation}
\end{dfn}
% subsection distance (end)
\subsection{Boules} % (fold)
\label{sub:boules}
\begin{dfn}[Boule]
Dans une espace vectoriel normé $(E,N)$, on définit les boules centrées en $a$ et de rayon $r$
    \begin{tabular}{>{\bfseries}r @{ de rayon $r$ centrée en $a$ : $\quad$ } l}
    Boule ouverte & $\{x \in E | N(x-a)< r \} $ \\
    Boule fermée & $\{x \in E | N(x-a)\le r \} $ \\
    Sphère & $\{x \in E | N(x-a)= r \} $ \\
    \end{tabular}
\end{dfn}
\emphh{Remarque :} Une boule n'est pas forcément une ``boule'' au sens géométrique du terme, puisque leur définition dépend de la norme. Par exemple, une boule en norme 3 est un cube.
% subsection boules (end)
\subsection{Parties, suites, fonctions bornées} % (fold)
\label{sub:parties_suites_fonctions_bornees}
\begin{dfn}[Partie bornée]
     Une partie $A$ de $E$ est dite \emph{bornée} s'il existe une boule $B(a,r)$ la contenant : 
     \begin{equation}
     \exists(a,r),\, A \subset B(a,r)
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[\acrshort{CNS} d'une partie bornée]
     Une partie $A$ de $E$ est \emph{bornée} \ssi{} il existe un réel $M$ tel que :
     \begin{equation}
     \forall x\in A,\, \| A \| \le M
     \end{equation}
\end{theorem}
\Attention{Le caractère borné d'une partie dépend de la norme. Il peut donc arriver qu'une partie soit bornée pour une norme et pas pour une autre.}
\begin{dfn}[Application bornée]
     Une application $f:X\to E$ est dite \emph{bornée} si l'ensemble $\lbrace f(x),\, x\in X\rbrace $ est borné.
\end{dfn}
% subsection parties_suites_fonctions_bornees (end)
\subsection{Produit scalaire} % (fold)
\label{sub:produit_scalaire}
\begin{dfn}[Produit scalaire]\label{dfn:ProduitScal}
Le \emph{produit scalaire}\index{Produit scalaire} est défini comme suit : 
\[
\begin{array}{c r l l}
(i)&\forall x \in E\backslash \{ 0 \} , &\uline{\varphi(x,x)>0}&\text{\textbf{(définie positive)}}\\
(ii)&\forall (x,y) \in E^2, &\uline{\varphi (x,y) = \varphi (y,x)} &\text{\textbf{(symétrie)}}\\
(iii)&\forall x \in E, &\uline{y \mapsto \varphi(x,y) \text{ est linéaire}}&\text{\textbf{(linéaire à droite)}}
\end{array}
\]
On peut associer un produit scalaire $(\cdot | \cdot )$ à un espace vectoriel $E$. L'espace $(E, (\cdot | \cdot ))$ est appelé \emph{espace préhilbertien}\index{Espace!prehilbertien@préhilbertien}.
\end{dfn}
\textbf{Remarque :} La symétrie et la linéarité impliquent la linéarité à gauche, donc la bilinéarité du produit scalaire.
\begin{theorem}[Continuité du produit scalaire]
     Le produit scalaire est une application bilinéaire \emphhs{continue} de $E\times E$ dans $\Reel{}$.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Norme associée]\label{NormeAssocieProdScal} 
$x\mapsto \sqrt{(x|x)}$ définit une norme sur $E$. On la note $||x||$, et $||x||^2 = (x|x)$.
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Inégalité \textsc{Cauchy-Schwarz}\index{inegalite@Inégalité!cauchy@de \textsc{Cauchy-Schwarz}}]
\begin{subequations}
\begin{align}
\textcolor{Red}{|}(x|y)\textcolor{Red}{|} &\le \sqrt{(x|x)} \times \sqrt{(y|y)}
\intertext{qu'on peut aussi écrire :}
\textcolor{Red}{|}(x|y)\textcolor{Red}{|}&\le \| x\| \times \| y\|
\end{align}
\end{subequations}
avec égalité si et seulement si $(x,y)$ est une famille liée.
\end{itheorem}
% subsection produit_scalaire (end)
\subsection{Normes usuelles} % (fold)
\label{sub:normes_usuelles}
\begin{itheorem}[Normes sur $\mathbb{K}^n$]
     Soit $x=(x_n)\in \mathbb{K}^n$. Les applications suivantes sont des normes sur $\mathbb{K}^n$ : 
     \begin{subequations}
          \begin{align}
               \| \cdot \|_1 &: x \longmapsto \sum | x_i | \\
               \| \cdot \|_2 &: x \longmapsto \sqrt{\sum |x_i |^2} \\
               \| \cdot \|_\infty &: x \longmapsto \max_{i\in \llbracket 1, n \rrbracket } | x_i |
          \end{align}
     \end{subequations}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Normes sur $\mathscr{C}^0$]
     Soit $f \in \mathscr{C}^0\Big( [a,b], \mathbb{R}\Big)$. Les applications suivantes sont des normes sur $\mathscr{C}^0\Big( [a,b], \mathbb{R}\Big)$ : 
     \begin{subequations}
          \begin{align}
               \| \cdot \|_1 &: f \longmapsto \int\limits_a^b |f(t)| \d t 
                            &\text{(Norme de la convergence en moyenne)} \\
               \| \cdot \|_2 &: f \longmapsto \sqrt{\int\limits_a^b |f(t)|^2 \d t}
                            &\text{(Norme de la convergence en moyenne quadratique)} \\
               \| \cdot \|_\infty &: f \longmapsto \sup_{t\in [a,b]} |f(t)| 
                            &\text{(Norme de la convergence uniforme)}
          \end{align}
     \end{subequations}
\end{itheorem}
% subsection normes_usuelles (end)
\subsection{Produit fini d'espaces vectoriels normés} % (fold)
\label{sub:produit_fini_d_espaces_vectoriels_normes}
\begin{theorem}[Norme sur un produit d'espaces vectoriels normés]
\label{thm:norme_produit}
     Soient $(E_1,N_1), \ldots , (E_n, N_n)$ des espaces vectoriels normés.\\
     L'application : 
     \begin{equation}
     \left\lbrace \begin{array}{r c c c l}
          N &:& E_1 \times \cdots \times E_n &\longto & \mathbb{R}^+ \\
            & & (x_1, \ldots , x_n) &\longmapsto & \displaystyle\sup_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket} N_i (x_i)
     \end{array}\right.
     \end{equation}
     est une norme sur $E_1 \times \cdots \times E_n$.     
\end{theorem}
% subsection produit_fini_d_espaces_vectoriels_normes (end)
\section{Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé} % (fold)
\label{sec:suites_evn}
\begin{dfn}[Convergence d'une suite]
    On dit que la suite des $(x_n)_n $ converge si l'une des conditions suivantes est vérifiée : 
    \begin{equation}
    \begin{array}{c l }
    (i) & \exists l \in E \text{ tel que } \big(N(x_n - l) \big) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0 \\
    (ii) & \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \text{ tel que } \big( n \geq n_0 \implies N(x_n - l) < \varepsilon \big) \\
    (iii) & \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \text{ tel que } \big( n \geq n_0 \implies x_n \in B(l,\varepsilon) \big)
    \end{array}
    \end{equation}
\end{dfn}
\Attention{Une suite peut converger pour une norme et diverger pour une autre.}
\begin{prop}
     \begin{itemize}
         \item Toute suite convergente est bornée
         \item La limite $l$ introduite précédemment est unique.
     \end{itemize}
\end{prop}
\begin{theorem}[Suite à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés]
     Une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé produit $E = E_1 \times \cdots \times E_n$ converge \ssi{} chacune des suites composantes converge dans leur espace $E_i$ respectif.
\end{theorem}
\begin{proof}
     On utilise la norme définie au théorème~\ref{thm:norme_produit} page~\pageref{thm:norme_produit}.
\end{proof}
\begin{theorem}
     Une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérences diverge.
\end{theorem}
% section suites_evn (end)
\section{Comparaison des normes} % (fold)
\label{sec:comparaison_des_normes}
\begin{dfn}[Normes équivalentes]
     On dit que deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes si
     \begin{equation}
     \exists (c,C)\in {\mathbb{R}^{\textcolor{couleurImp}{+}}}^2,\, \forall x \in E,\, cN_1(x) \le N_2(x) \le CN_1(x)
     \end{equation}     
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Dimension finie]
     Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
\end{itheorem}
% section comparaison_des_normes (end)
\section{Topologie d'un espace normé} % (fold)
\label{sec:topologie}
Voici plusieurs définitions utiles à l'étude d'espaces vectoriels normés :
\begin{dfn}[Ouvert]
Une partie $\mathcal{O}$ de $E$ est un \emph{ouvert}\index{Ouvert} si, pour tout élément $x$ de $\mathcal{O}$, il existe une boule centrée en $x$ inclue dans $\mathcal{O}$ (\textit{cf. }\textsc{Figure}~\ref{fig:OuvertFerme}) : 
\begin{equation}
\forall x\in \mathcal{O},\qquad \exists r > 0, \quad \forall y\in E,\: \| y - x \| \le r \implies y \in \mathcal{O}
\end{equation}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Voisinage]
     On appelle \emph{voisinage}\index{Voisinage} d'un point $x$, et on note $\mathscr{V}(x)$, toute partie $V$ de $E$ qui contient une boule ouverte de centre $x$ : 
     \begin{equation}
     V\in \mathscr{V} (x) \text{ si }\qquad\exists r > 0,\: \forall y \in E, \quad \| y-x \| < r \implies y \in V
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Fermé]
Un espace vectoriel $F$ est dit \emph{fermé}\index{ferme@Fermé} si son complémentaire $\overline{F}$ est un ouvert
\end{dfn}
%
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Pour différencier un ouvert d'un fermé, prenons le schéma ci-contre : \\
La partie en \textbf{\textcolor{Red}{rouge}} est un ouvert noté $O$, celle en \textbf{\textcolor{Blue}{bleue}} est un fermé noté $F$.\\
En effet : il n'existe aucun disque centré en $y \in O+F$ inclus dans la partie $O+F$, donc $O+F$ n'est pas un ouvert. Par contre, pour tout point $x \in O$, on peut trouver une boule inclue dans $O$.
\end{minipage}\hspace{6pt}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
    %\draw [Black!30, thin, fill = Black!2] (-3.5,-2.3) -- (-3.5,2.3) -- (3.5,2.3) -- (3.5,-2.3) -- (-3.5,-2.3);
    \draw [Black, densely dashed, pattern=north west lines, pattern color=Blue!60] (30:2) circle(0.7);
    \fill [Red] (0,0) circle(2);
    \draw [Red!30] (120:1.7) node{$O$};
    \draw [line width=3pt, Blue] (0,0) circle(2);
    \draw [Blue] (-120:2.3) node{$F$};
    \fill [White, opacity = 0.3] (30:2) circle(0.7);
    \begin{scope}
        \clip (0,0) circle(2.05);
        \draw [White, densely dashed] (30:2) circle(0.7);
    \end{scope}
    \draw (30:2) node{$+$} (30:2) node[below left]{$y$};
    \fill [White, opacity = 0.3] (-120:0.4) circle(0.7);
    \draw [White!70, densely dashed] (-120:0.4) circle(0.7);
    \draw (-120:0.4) node{$+$} (-120:0.4) node[above left]{$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\captionof{figure}{Ouvert / Fermé}
\label{fig:OuvertFerme}
\end{minipage}
%
\begin{itheorem}[Caractérisation séquentielle d'un fermé]
$F\subset E$ est un \emph{fermé}\index{ferme@Fermé} \uline{\emph{ssi}} toute suite convergente de F a sa limite dans F
\end{itheorem}
\needspace{4cm}
\begin{dfn}[Point adhérent]% Pris à 100% de Vuibert
     Un point $x\in E$ est dit \emph{adhérent}\index{Adherent@Adhérent} à $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ : 
     \begin{equation}
     \forall V\in \mathscr{V} (x),\qquad V\cap A \neq \varnothing
     \end{equation}
     Autrement dit, toute boule ouverte de centre $x$ contient au moins un élément de $A$ : 
     \begin{equation}
     \forall \epsilon > 0,\qquad \exists a\in A,\quad \| a -x \| < \epsilon
     \end{equation}
\end{dfn}
\needspace{4cm}
\begin{dfn}[Point intérieur]% Idem : Pris à 100% de Vuibert
     Un point $x$ de $E$ est dit \emph{intérieur}\index{Interieur@Intérieur!point} à $A$ si $A$ est un voisinage de $x$, c'est à dire s'il existe une boule ouverte de centre $x$ contenue dans $A$ : 
     \begin{equation}
     \exists \epsilon > 0, \forall y\in E, \qquad \| y -x \| < \epsilon \implies y\in A
     \end{equation}
\end{dfn}
\todo{Reformuler sous forme d'un théorème}
\begin{theorem}[Intérieur, Adhérence]% todo : reformuler sous forme d'un théorème
L'\emph{intérieur}\index{interieur@Intérieur} de $B$, noté $\overset{\circ}{B}$, est la \uline{réunion} des parties ouvertes \uline{contenues} dans $B$. \newline
L'\emph{adhérence}\index{Adherence@Adhérence} de $A$, notée $\overline{A}$ est \uline{l'intersection} des parties fermées \uline{contenants} $A$.
\end{theorem}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $A$ fermé $\Leftrightarrow A=\overline{A}$
\item $\underbrace{\mathrm{Fr}(A)}_{\mathclap{\text{frontière}}}$ est un fermé
\item $\bigcup_{\text{finie}} \text{ fermés} = \text{fermé}$
\item $\bigcup \text{ ouverts} = \text{ouvert}$
\item $\bigcap \text{ fermés} = \text{fermé}$
\item $\bigcap_{\text{finie}} \text{ ouverts} = \text{ouvert}$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{dfn}[Dense]
     On dit qu'une partie $D$ est dense dans $A$ si $A \subset \overline{D}$.
\end{dfn}
\begin{itheorem}
    Un \emphh{complet} $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est \emphh{\uline{fermé}}.\\*
    La réciproque (\textit{Les parties complètes sont les parties fermées}) est vraie si $E$ est un espace de \textsc{Banach}.
\end{itheorem}
% section topologie (end)
\section{Caractérisations séquentielles} % (fold)
\label{sec:caracterisations_sequentielles}
% Ce chapitre doit bouger après, il est juste 
% là parce que je n'ai pas le temps de séparer 
% les différentes caractérisations
\todo{Disperser cette section}
\begin{itheorem}[Caractérisation séquentielle des points adhérents]
     $x$ est adhérent à $A$ \ssi{} il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation séquentielle de la limite]
\[
\begin{array}{c}
     \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = l \\ 
     \Longleftrightarrow \\
     \forall (x_n)_n \underset{+\infty}{\longto} a,\quad f(x_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{} l
\end{array}
\]
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation séquentielle de la continuité]
     $f$ est continue en $a$ \ssi{} $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$, et : 
     \[
\begin{array}{c}
     \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a) \\ 
     \Longleftrightarrow \\
     \forall (x_n)_n \underset{+\infty}{\longto} a,\quad f(x_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{} f(a)
\end{array}
\]
\end{itheorem}
% section caracterisations_sequentielles (end)
\section{Applications linéaires continues} % (fold)
\label{sec:applications_lineaires_continues}
\begin{dfn}[Continuité uniforme]
     On dit que $f : E \to F$ est \emph{uniformément continue}\index{Continuite@Continuité!uniforme} sur $A\in E$ si : 
     \begin{equation}
     \forall \epsilon > 0, \: \exists \alpha > 0, \qquad \forall (x,y)\in A^2, \: \|y - x\| < \alpha \implies \| f(y) - f(x) \| < \epsilon
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Caractérisation de la continuité d'une application linéaire]
% Copié (pas très rigoureusement) de Vuibert
    Soit $f : E \to F$ une application linéaire continue. Les propositions suivantes sont équivalentes : 
    \begin{itemize}
           \item $f$ est continue sur $E$
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
           \item $f$ est continue en $0_E$
           \item $f$ est bornée sur la boule unité fermée
           \item $\exists K \in \mathbb{R}^+,\quad \| f(x) \| \le K\| x\|$ 
           \item $f$ est lipschitzienne sur $E$
           \item $f$ est uniformément continue
    \end{enumerate}   
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Continuité en dimmension finie]
     Toute application linéaire de $E$ dans $F$ est continue si $E$ est de dimension finie.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Continuité d'une application multilinéaire]
     Une application multilinéaire $\varphi : E_1 \times \cdots \times E_n \longto F$ est continue sur $E_1 \times \cdots \times E_n$ \ssi{} : 
     \begin{equation}
          \exists K\in \mathbb{R}^+, \quad \forall (x_1, \ldots , x_n) \in E_1 \times \cdots \times E_n , \quad \varphi (x_1, \ldots , x_n) \le K \| x_1\| \cdots \| x_n \|
     \end{equation}
\end{theorem}
% section applications_lineaires_continues (end)
\section{Complets} % (fold)
\label{sec:complets}
\begin{dfn}[Complet]\index{Complet}
$A$ est un \emph{complet} si toute suite de Cauchy $(c_n)_n \in A$ admet une limite $l\in A$\\
CÀD si \uline{toute suite de Cauchy est convergente}
\end{dfn}
\textbf{Remarque :} Intuitivement, un espace est complet s'il n'a pas de \enquote{trou}. $\mathbb{Q}$ n'est pas complet, car $\sqrt{2}$ n'est pas dans $\mathbb{Q}$.

\begin{dfn}[Espace de \textsc{Banach}]
Un \emph{espace de \textsc{Banach}}\index{banach@\textsc{Banach}!Espace} est un espace-vectoriel \uline{normé et complet}.
\end{dfn}
% section complets (end)
\section{Parties compactes d'un espace normé} % (fold)
\label{sec:compacts}
\begin{itheorem}[\textsc{Bolzano-Weierstrass}]
     Toute suite réelle \emphhs{bornée} possède au moins une valeur d'adhérence.\par
     Par extension : toute suite bornée dans un espace vectoriel normé de dimension finie possède au moins une valeur d'adhérence.
     \index{Bolzano@\textsc{Bolzano}!Weierstrass@-\textsc{Weierstrass}}
\end{itheorem}
On va utiliser cette propriété pour définir un compact :
\begin{dfn}[Compact]\index{Compact}
$A$ est un \emph{compact} si toute suite d'éléments $(x_n)_n \in A$ a au moins une valeur d'adhérence\\
CÀD \uline{on peut extraire de $(x_n)_n$ une suite $\left( x_{\varphi(n)} \right)
_n$ qui converge dans $A$}
\end{dfn}
\begin{itheorem}
     Soit $E$ un espace vectoriel. Les parties compactes de $E$ sont fermées et bornées.
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Compacts en dimension finie]
     Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. \newline
     Une partie de $E$ est compacte \ssi elle est fermée bornée.
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Toute partie fermée d'un compact est compact
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soit $A$ un compact de $E$.\\
     Une suite d'éléments de $A$ converge \ssi elle possède une unique valeur d'adhérence : 
     \begin{equation}
     \forall (x_n)_n \in A,\, x_n \text{ converge } \Leftrightarrow \exists ! l,\, x_n\to l
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{prop}
    \begin{align*}
          \bigcup \text{compacts}~ &= ~\text{compact} \\
          \bigcap_{\text{fini}}\text{compacts}~ &= ~\text{compact}\\
          \prod_{\text{fini}}\text{compacts}~ &= ~\text{compact}
    \end{align*}
\end{prop}
% section compacts (end)
\section{Applications continues sur une partie compacte} % (fold)
\label{sec:applications_continues_sur_une_partie_compacte}
\begin{itheorem}[Image d'une partie compact]
     Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. Soit $F$ un espace vectoriel normé. Soit $f : A \in E \to F$.\\
     Si $f$ est continue, l'image de tout compact de $A$ est un compact de $F$.
\end{itheorem}
\begin{theorem}
     Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soit une application $f : E \to \mathbb{R}$. \\
     Si $f$ est continue, alors elle est bornée et \emphhs{atteint ses bornes}.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Théorème de \textsc{Heine}\index{Heine@\textsc{Heine}}]
    Si $(E,N)$ et $(F,N)$ sont des espaces vectoriels normés, $A$ une partie \emphh{compacte} de $E$, alors \newline alors $f$ est \emphh{uniformément continue} $\Longleftarrow$ $f\in \mathcal{C}(A,F)$.
\end{itheorem}
\begin{proof}
     Idée : supposer que $f$ est discontinue uniformément.% WHAT? 
\end{proof}
% section applications_continues_sur_une_partie_compacte (end)
\section{Connexité par arcs} % (fold)
\label{sec:connexe_par_arcs}
\subsection{Convexité}\label{sub:convexe_connexite}
\begin{dfn}[Convexe]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        Un ensemble $E$ est \emphh{convexe}\index{Convexe} si : 
    \begin{equation}
    \forall (x,y) \in E^2, \forall t \in [0,1], \boxed{tx + (1-t)y \in E}
    \end{equation}
    Intuitivement, un ensemble est convexe si on peut relier deux points avec une ligne contenue dans cet ensemble.
    \end{minipage}\hspace{5mm}
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[thick, color=couleurImp] (0.2,0.2) -- (2.7, 0.5);
        \filldraw[fill = couleurClaire, decorate, rounded corners=5mm]%
        (0,0) -- (-0.3,2) -- (3, 2.5) -- (3,0) -- (1.5,1) -- (0.2,-0.5) -- (0,0);
        \begin{scope}
        \clip[decorate, rounded corners=5mm] (0,0) -- (-0.3,2) -- (3, 2.5) -- (3,0) -- (1.5,1) -- (0.2,-0.5) -- (0,0);
        \draw[thick] (0.2,0.2) node{$\bullet$} -- (2.7, 0.5) node{$\bullet$};
        \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \captionof{figure}{Un ensemble non convexe}
    \end{minipage}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Fonction convexe]
\label{dfn:convexe_connexite}
   \begin{minipage}{0.75\textwidth}
    Une fonction $f : I \mapsto \Reel{}$ est dite convexe si :
   \begin{equation}
   \forall (a,b) \in I^2, \forall t \in ]0,1[, \boxed{f(ta + (1-t)b) \le tf(a) + (1-t)f(b)}
   \end{equation}
    \end{minipage}\hspace{2mm}
    \begin{minipage}{0.2\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
        \draw [->, >=stealth] (0,0) -- (3.2,0);
        \draw [->, >=stealth] (0,0) -- (0,3.2);
        \draw [thick] (0,0).. controls (0.8,0.2) and (2,1) .. (3,3);
        \draw [color=couleurNoirClair, densely dashed] (0,0) -- (3,3);
    \end{tikzpicture}
    \captionof{figure}{Une fonction convexe}
    \end{minipage}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Convexe dans \Reel]
    $I$ de $\Reel{}$ est convexe \emphh{si et seulement si} $I$ est un intervalle de $\Reel{}$
\end{theorem}
\subsection{Connexité}
\begin{dfn}[Connexe par arcs]
    Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $(E,N)$  est \emph{connexe par arcs}\index{Connexe par arcs} \linebreak si, pour tous points $a$ et $b$ de $E$, il existe une fonction $f:[0,1] \to E$ \emphh{\uline{continue}} telle que 
    \begin{equation}
    \left\lbrace
    \begin{gathered}
    f(0)=a \\
    f(1)=b \\
    f\big( [0,1] \big) \subset A
    \end{gathered}
    \right.
    \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Relation d'équivalence]
     \og{} Il existe un chemin continu d'un point $x$ à un point $y$\fg{} %shameless copy from Vuibert. PS guys... I love you
     est une relation d'équivalence sur une partie $A$ de $E$.\\
     Les \emph{composantes connexes}\index{Composante connexe} sont les classes d'équivalences de $A$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Connexe dans \Reel{}]
    $A$ non vide de $\Reel{}$ est connexe par arcs \emphh{si et seulement si} $A$ est un intervalle de $\Reel{}$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Image continue d'une partie connexe]
     Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Soit l'application $f : A\in E \to F$.\\
     Si $f$ est continue, alors l'image de toute partie connexe par arcs est connexe par arcs dans $F$.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Théorème des valeurs intermédiaires]
     Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soit $A$ une partie connexe par arcs de $E$. \\
     Soit $f : A \to \mathbb{R}$ une application continue qui atteint $(c,d)\in \mathbb{R}$. Alors $f$ atteint toute valeur $f(x) \in [c,d]$.
\end{itheorem}
% section connexe_par_arcs (end)
\chapter{Espaces Préhilbertiens réels}
Dans cette section, on se placera dans \Reel{}.
\begin{methode}
\titre{Définitions rapides}
\begin{description}
\item[Produit Scalaire] \textit{cf.} définition \ref{dfn:ProduitScal} page \pageref{dfn:ProduitScal}
\item[Éléments orthogonaux] $x$ et $y$ sont orthogonaux si $( x | y ) = 0 $
\item[Famille orthogonale] $(e_i|e_j) = \delta{i,j}$
\item[Distance de $x$ à une partie $F$] $d(x,F) = \| x - p_f(x) \|$
\end{description}
\end{methode}
\begin{dfn}[Rappel : Produit scalaire]
Le \emph{produit scalaire}\index{Produit scalaire} est défini comme suit : 
\[
\begin{array}{c r l l}
(i)&\forall x \in E\backslash \{ 0 \} , &\uline{\varphi(x,x)>0}&\text{\textbf{(définie positive)}}\\
(ii)&\forall (x,y) \in E^2, &\uline{\varphi (x,y) = \varphi (y,x)} &\text{\textbf{(symétrie)}}\\
(iii)&\forall x \in E, &\uline{y \mapsto \varphi(x,y) \text{ est linéaire}}&\text{\textbf{(linéaire à droite)}}
\end{array}
\]
On peut associer un produit scalaire $(\cdot | \cdot )$ à un espace vectoriel $E$. L'espace $(E, (\cdot | \cdot ))$ est appelé \emph{espace préhilbertien}\index{Espace!prehilbertien@préhilbertien}.
\end{dfn}
\begin{theorem}[Continuité du produit scalaire]
     Le produit scalaire est une application bilinéaire continue.
\end{theorem}
\section{Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie}
\begin{dfn}[Éléments orthogonaux]
Deux éléments $x$ et $y$ sont orthogonaux si $(x|y)=0$
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}]
     Soit $E$ un un espace préhilbertien réel. \index{inegalite@Inégalité!cauchy@de \textsc{Cauchy-Schwarz}}
     \begin{equation}\label{eq:cauchy_swharz_scalaire}
     \forall (x,y)\in E^2,\qquad (x|y)^2 \le (x|x)(y|y)
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Identités remarquables, identités de polarisation]
     Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour tout $(x,y)\in E^2$ :
     \begin{subequations}
          \begin{align}
                \|x+y\|^2 &= \|x\|^2 + 2(x|y) + \|y\|^2 \\
                \|x-y\|^2 &= \|x\|^2 - 2(x|y) + \|y\|^2 \\
                \big( x+y \big| x-y \big) &= \| x \|^2 - \| y \|^2 \\
               (x| y) &= \dfrac{1}{4}\Big( \| x+y\|^2 - \| x-y \|^2\Big) \label{eq:identite_de_polarisation} \\
               \| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 &= 2(\| x \|^2 + \|y\|^2)
          \end{align}
     \end{subequations}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Pythagore]
Si $(x_1, \cdots , x_n)$ est une famille d'éléments de $E$ deux à deux \emphhs{orthogonaux}, alors 
\begin{equation}
\left| \left| \sum_{i=0}^{n} x_i \right| \right| ^2 = \sum_{i=0}^n  \| x_i\| ^2
\end{equation}
\Attention{Ce sont bien des normes car $x_i$ au carré n'existe pas (qu'est-ce que le produit de deux vecteurs ?), du coup on utilise $\| \cdot \| ^2 = (\cdot | \cdot )$}
\end{theorem}
\begin{proof}
     On procède par récurrence. Avec une famille à deux éléments : 
     \begin{align*}
         \| x_1 + x_2 \|^2 &= \|x\|^2 + 2(x|y)+ \|y\|^2
         \intertext{Puisque $x_1$ et $x_2$ sont orthogonaux par hypothèse, on obtient :}
         \| x_1 + x_2 \|^2 &= \|x\|^2 + \|y\|^2
     \end{align*}
\end{proof}
\begin{itheorem}[Procédé d'orthonormalisation de \textsc{Schmidt}]\index{Procede@Procédé! Orthonormalisation@d'Orthonormalisation de \textsc{Schmidt}}
Pour toute base de $(e_i)$, il existe une base $(\varepsilon_i)$ telle que :
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
(\varepsilon_i)\text{ est une base \uline{orthonormée}}\\
\mathrm{Vect}(e_1,\cdots ,e_n) = \mathrm{Vect}(\varepsilon_1, \cdots ,\varepsilon_n)\\
(e_i|\varepsilon_i) > 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
On aura souvent recours à compléter une base $(e_i)_k$ avec $n-k$ vecteurs orthonormaux aux $(\varepsilon_i)_k$ par le théorème de la base incomplète.
\end{itheorem}
\begin{dfn}[Projection orthogonale]
     Soit $E$ un espace préhilbertien, et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. On appelle projection orthogonale sur $F$ la projection sur $F$ parallèlement à $F^\perp$, notée $p_F$.
\end{dfn}
\begin{figure}[h]
     \centering
     \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
          \draw[thick] (0,0) -- (0,-1);
          \fill[opacity=0.9,color=black!20] (-2,-0.7) -- ++(5,0) -- ++(60:2) -- ++(-5,0) -- cycle;
          \path (-1.6, -0.4) node {$F$};
          \draw[densely dashed] (1.6,0) -- (1.6,1.6);
          \draw[very thick, ->, >=latex] (0,0) -- (1.6,0) node[midway, below]{$p_F (x)$};
          \draw[thick] (0,0) -- (0,2.3) node[left]{$F^\perp$};
          \draw[very thick, ->, >=latex] (0,0) -- (1.6,1.6) node[above]{$x$};
     \end{tikzpicture}
     \caption{Projection orthogonale}
\end{figure}
\begin{itheorem}[Théorème de la projection orthogonale]
     Avec les notations précédentes, pour tout $x\in E$, $p_F(x)$ est l'unique vecteur de $F$ tel que : 
     \begin{equation}
     \| x - p_F(x) \| = \inf_{y\in F} \| x - y\|
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Inégalité de \textsc{Bessel} \index{inegalite@Inégalité!Bessel@de \textsc{Bessel}}]
Soit $x\in E$ et $p_F(x)$ sont projeté sur un sous-espace vectoriel $F$. Alors : 
\begin{equation}
\| p_F (x) \| \le \| x \|
\end{equation}
Si $(e_i)$ est une base orthonormée de $F$ : 
$\boxed{\sum_{i=1}^{p} (e_i|x)^2 \le \| x \|^2}$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Inégalité de \textsc{Bessel} généralisée]
Soit $(e_n)$ une suite orthonormale d'éléments de $E$. Pour tout élément $x\in E$, $\sum (e_n | x )^2$ converge et : 
$\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} (e_n|x)^2 \le \| x \|^2}$
\end{theorem}
\section{Suites orthonormales de vecteurs d'un espace préhilbertien réel} % (fold)
\label{sec:suites_orthonormales_de_vecteurs_d_un_espace_prehilbertien_reel}
\begin{dfn}[Suite totale]
     Soit $E$ un espace préhilbertien réel. \\
     On dit d'une suite $(a_n)$ qu'elle est \emph{totale}\index{Suite!totale} si $\mathrm{Vect}(a_n)$ est dense dans $E$, c'est-à-dire si tout élément de $E$ est la limite d'une suite de combinaisons linéaires des vecteurs $a_n$.
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Avec les notations précédentes, si $(a_n)$ est une suite d'éléments de $E$, alors : 
     \begin{equation}
     \Big( \mathrm{Vect}\big(a_n\, | \, n\in \mathbb{N}\big)\Big)^{\perp} = \{ 0\}
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
     Soit $x \in \Big( \mathrm{Vect}\big(a_n\, | \, n\in \mathbb{N}\big)\Big)^{\perp}$. \newline
     Puisque $x\in E$, et que $(a_n)$ est une suite totale, il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $\mathrm{Vect}\big(a_n\, | \, n\in \mathbb{N}\big)$ qui converge vers $x$. Or pour tout $n$, $(x | x_n) = 0$.\newline
     Par passage à la limite, et par continuité du produit scalaire, on obtient $(x | x) = 0$ donc $x=0$.\qed
\end{proof}
\begin{itheorem}[Caractérisation d'une suite totale]
% Théorème hors-programme ? 
     Soit $E$ un espace préhilbertien réel.\\
     Une suite $(a_n)$ d'éléments de $E$ est totale \ssi{} la suite $\big(p_n(x)\big)$ des projetés orthogonaux de $x$ sur $\mathrm{Vect}\big(a_n\, | \, n\in \mathbb{N}\big)$ converge vers $x$.
\end{itheorem}
\begin{theorem}
     Avec les notations précédentes, soit $(e_k)_{k\in \mathbb{N}}$ est une suite orthonormale totale d'éléments de $E$.\\
     Si, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $p_n$ désigne le projecteur orthogonal de $E$ sur $\mathrm{Vect}(e_0, \ldots , e_n) $, alors, pour tout $x \in E$, $p_n(x)$ converge vers $x$.
\end{theorem}
\begin{itheorem}
     Avec les notations précédentes, une suite $(e_k)$ d'éléments orthonormaux de $E$ est totale \ssi{} pour tout $x\in E$, la série $\sum (x|e_n)^2$ converge vers $\| x \|^2$ : 
     \begin{equation}
     \sum_{n=0}^{+\infty} (e_n|x)^2 = \| x \|^2
     \end{equation}
\end{itheorem}
% section suites_orthonormales_de_vecteurs_d_un_espace_prehilbertien_reel (end)
\section{Endomorphismes symétriques d'un espace euclidien}
$u$ est un endomorphisme, donc il est \uline{linéaire}.
\begin{dfn}
    \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}% Compter en (i), (ii)...
    \begin{enumerate}
        \item $u$ un endomorphisme, il existe \emphh{un \uline{unique}} endomorphisme $u^*$ tel que
        \begin{equation*}
            \forall (x,y) \in E, (u(x)|y) = (x | u^*(y))
        \end{equation*}
        $u^*$ est l'\emph{adjoint}\index{Adjoint} de $u$.
        \item $u$ est autoadjoint\index{autoadjoint@Autoadjoint} (\emph{symétrique}) si $u^* = u$ 
        \item $u$ est un automorphisme orthogonal\index{Automorphisme orthogonal} (\emph{isométrie vectorielle}) si $u^* = u^{-1}$. On note $u \in \mathcal{O}(E)$
    \end{enumerate}
\end{dfn}

\begin{prop}
    \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}% Compter en (i), (ii)...
    \begin{enumerate}
        \item Si $M_\mathcal{B}(u) = A$, alors $M_\mathcal{B}(u^*) = {}^tA$
        \item $\mathrm{Ker}(u^*) = \left[ \mathrm{Im}(u) \right]^\perp$
        \item $\mathrm{Im}(u^*) = \left[ \mathrm{Ker}(u) \right]^\perp$
        \item $\chi_u = \chi_{u^*}$
        \item $(u\circ v)^* = v^* \circ u^*$
    \end{enumerate}
\end{prop}
\begin{itheorem}[Théorème spectral]
    Tout \emphh{endomorphisme symétrique} est diagonalisable, et il existe une base orthonormale de vecteurs propres de $u$.\par

    Toute \emphh{matrice symétrique \uline{réelle}} est diagonalisable. On peut aussi dire : 
    \begin{equation}
    \forall A \in S_n, \exists  \left| \begin{gathered} P \in \mathcal{O}(n) \\ D \in \mathcal{D}_n(\Reel) \end{gathered} \right. \text{ tel que } A = PDP^{-1} = PD{}^{\intercal}P
    \end{equation}
\end{itheorem}
\section{Isométries vectorielles d'un espace euclidien} % (fold)
\label{sec:isometries_vectorielles_d_un_espace_euclidien}
\begin{dfn}[Isométrie vectorielle d'un espace euclidien]
     Soit $E$ un espace euclidien.\\
     On dit que $u\in \mathcal{L}(E)$ est une \emph{isométrie vectorielle}\index{Isometrie@Isométrie!vectorielle} si $u$ est un endomorphisme qui \emphhs{conserve la norme} :
     \begin{equation}
     \forall x\in E,\qquad \|u(x)\| = \| x\|
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Bijectivité]
     Une isométrie vectorielle est bijective.
\end{theorem}
\begin{proof}
     Une isométrie vectorielle est injective : 
     \begin{align*}
         u(x) = 0 &\implies \| u(x)\| = 0\\ 
                  &\implies \| x \| = \| u(x)\| = 0\\ 
                  &\implies x=0
     \end{align*}
     Puisque $E$ est un espace euclidien, il est de dimension finie. Ainsi injectivité~$\Leftrightarrow$~bijectivité, et $u$ est bijective.\qed
\end{proof}
\begin{theorem}[\acrshort{CNS} avec le produit scalaire]
     $u\in \mathcal{L}(E)$ est une \emphh{isométrie vectorielle} \ssi{} $u$ conserve le produit scalaire : 
     \begin{equation}
     \forall (x,y)\in E^2,\qquad \Big( u(x) \Big| u(y) \Big) = \big( x|y\big) 
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
     Commençons par le sens \og{}conserve le produit~scalaire~$\implies$~isométrie~vectorielle\fg{} : 
     \begin{equation*}
          \|u(x) \| = \sqrt{\big( u(x) | u(x) \big) }= \sqrt{\big( x | x \big) } = \| x \|
     \end{equation*}
     Réciproquement, montrons que \og{}conserve le produit~scalaire~$\Longleftarrow$~isométrie~vectorielle\fg{}.\newline
     Si $u$ est une isométrie vectorielle, d'après l'identité de polarisation~\eqref{eq:identite_de_polarisation} : 
     \begin{align*}
          \left( u(x) | u(y) \right) 
    &= \frac{1}{4} \left( \| u(x) + u(y) \|^2 - \| u(x) - u(y) \|^2 \right) \\
    &= \frac{1}{4} \left( \| x+y \|^2 - \| x-y \|^2 \right) \\ % Par linéarité de u
    &= (x|y)
     \end{align*}
     On a alors montré l'équivalence.\qed
\end{proof}
\begin{theorem}[Groupe orthogonal $\mathcal{O}(E)$]
     L'ensemble des isométries vectorielles de $E$, muni de la loi $\circ$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$. \\
     C'est le \emph{groupe orthogonal}\index{Groupe!orthogonal} de $E$, et on le note $\mathcal{O}(E)$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Stabilité de l'orthogonal]
     Soit $u$ dans $\mathcal{O}(E)$. \\
     Si $F\subset E$ est stable par $u$, alors $F^\perp$ est stable par $u$.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation d'une isométrie vectorielle]
    $u$ est un automorphisme orthogonal si les assertions suivantes (équivalentes) sont vérifiées :
    \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}% Compter en (i), (ii)...
    \begin{enumerate}
        \item $u$ conserve la norme
        \item $u$ conserve le produit scalaire
        \item $u\left(\mathcal{B}_\text{orthonormée}\right) = \mathcal{B}'_\text{orthonormée}$
        \item $\forall \mathcal{B'}_\text{orthonormée}, \exists \mathcal{B}_\text{orthonormée}$ telle que $u\left(\mathcal{B}_\text{orthonormée}\right) = \mathcal{B}'_\text{orthonormée}$
        \item $\exists \mathcal{B}_\text{orthonormée} $ telle que $\left| \begin{gathered}
            U{}^tU = I_n\\
            \text{ ou }\\
            {}^tUU = I_n
        \end{gathered}\right|$ où $U = M_\mathcal{B}(u)$
    \end{enumerate}
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Valeurs propres d'une isométrie vectorielle]
     Soit $u\in \mathcal{O}(E)$. Si $u$ admet des valeurs propres, alors elles appartiennent à $\{ -1 , 1 \}$. 
\end{theorem}
\begin{proof}
     Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. On a $\| u (x) \| = \|\lambda x \|$. Or par définition  d'une isométrie vectorielle : $| \lambda | \| x \| = \| u(x) \| = \| x\|$. Ainsi, $\lambda = \{ -1 , 1\}$.\qed
\end{proof}
\begin{theorem}
     Soit $M$ la matrice de $u$ \emphhs{dans une base orthonormale}. Alors :
     \begin{equation}
     u \in \mathcal{O}(E) \Longleftrightarrow {}^{\intercal}M M = I_n
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation d'une matrice orthogonale]
    $u$ est une matrice orthogonale \ssi{} les assertions suivantes (équivalentes) sont vérifiées :
    \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}% Compter en (i), (ii)...
    \begin{enumerate}
        \item $M$ est inversible et $M^{-1} = {}^{\intercal}M$
        \item Les colonnes de $M$ forment une base orthonormale de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R} )$
        \item Les lignes de $M$ forment une base orthonormale de $\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R} )$
        \item $M$ est la matrice de passage d'une base orthonormale à une autre
    \end{enumerate}
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Déterminant]
     Toute matrice orthogonale/isométrie vectorielle d'un espace euclidien a pour déterminant $1$ ou $-1$.
\end{theorem}
% section isometries_vectorielles_d_un_espace_euclidien (end)
\chapter{Espaces Préhilbertiens complexes}
\section{Structure Préhilbertienne complexe}
On se place dans $\Cmplx$ et on établit de nouveau le \uline{produit scalaire} comme à la définition \ref{dfn:ProduitScal} page \pageref{dfn:ProduitScal} du chapitre précédent. À une différence prêt, la symétrie est appelée \textbf{symétrie hermitienne}
\begin{dfn}[Produit scalaire]\label{dfn:ProduitScalCmplx}
Le produit scalaire \index{Produit scalaire} est défini comme suit : 
\[
\begin{array}{c r l l}
(i)&\forall x \in E\backslash \{ 0 \} , &{\varphi(x,x)>0}&\text{\textbf{(définie positive)}}\\
(ii)&\forall (x,y) \in E^2, &{\varphi (x,y) = \overline {\varphi (y,x)}} &\text{\textbf{(symétrie hermitienne)}}\\
(iii)&\forall x \in E, &{y \mapsto \varphi(x,y) \text{ est linéaire}}&\text{\textbf{(linéaire à droite)}}
\end{array}
\]
On peut associer un produit scalaire $(\cdot | \cdot )$ à un espace vectoriel $E$. L'espace $\left( E, (\cdot | \cdot ) \right)
$ est appelé \emph{espace préhilbertien}\index{Espace!prehilbertien@préhilbertien}.
\end{dfn}
\section{Orthogonalité}
\begin{theorem}[Inégalité de \textsc{Bessel} \index{inegalite@Inégalité!Bessel@de \textsc{Bessel}}]
Si $(e_i)$ est une base orthonormée : 
$\boxed{\sum_i \textcolor{Red}{|}(e_i|x)\textcolor{Red}{|}^2 \le \textcolor{Red}{N_2}^2 (x)}$
\end{theorem}
\section{Séries de \textsc{Fourier}}
\begin{methode}
\titre{Coefficients}
\begin{description}
\item[Exponentiels] $c_n(f) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}e^{-int} f(t)\, \d t$
\item[Trigonométriques] \hfill \\[-10pt]
    \begin{itemize}\itemsep2pt
        \item $a_n(f) = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos (nt) f(t)\, \d t$
        \item $b_n(f) = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin (nt) f(t)\, \d t$
    \end{itemize}
\end{description}
\end{methode}
On note $\boldsymbol{ \mathcal{C}_{2\pi}}$ l'espace vectoriel des applications $f : \Reel \to \Cmplx$ \textbf{{$\boldsymbol{ 2\pi}$-périodiques}} et \textbf{continues} sur $[0,2\pi]$.\\
On note $\boldsymbol{ \mathcal{CM}_{2\pi}}$ l'espace vectoriel des applications $f : \Reel \to \Cmplx$ \textbf{{$\boldsymbol{ 2\pi}$-périodiques}} et \textbf{continues par morceaux} sur $[0,2\pi]$.\\[3pt]
\Attention{Sur $\mathcal{CM}_{2\pi}$, $N_1, N_2$ et $N_\infty$ ne sont plus des normes, mais elles fonctionnent toujours de la même manière}

Cette sous-section se base sur le théorème suivant : 
\begin{theorem}
Pour toute fonction dans $\mathcal{CM}_{2\pi}$, il existe une suite $\left( f_n \right)_n$ d'éléments de $\mathcal{C}_{2\pi}$ telle que $\boxed{N_2(f-f_n)\xrightarrow[n\to\infty]{} 0}$
\end{theorem}

L'objectif des séries de \textsc{Fourier} est de \og transposer \fg une fonction dans une base de $\mathcal{C}_{2\pi}$. \\

On prendra pour bases $(e^{it},e^{2it},\cdots e^{int})$ ou $\left( cos(t),cos(2t),\cdots ,cos(nt)\right)$ par exemple, et grâce à un produit scalaire, on obtient la décomposition de notre fonction dans la base.\\
C'est ainsi qu'on définit les coefficients : 


\begin{dfn}[Coefficients exponentiels]
Pour une fonction $f$ dans $\mathcal{CM}_{2\pi}$ :\\
\begin{center}
 \ibox{
$
c_n(f) = \color{Black!50}{\underbrace{\color{Black}{\dfrac{1}{2\pi}}}_{\mathclap{\text{on est sur }\mathcal{CM}_{2\pi}}}} \color{Black}{\int \limits_0^{2\pi}e^{-i\cdot n\cdot t} f(t)\, dt}
$}
 \end{center}

En effet : $c_n(f) = (e_n | f)$ avec $e_n = e^{int}$. Or le produit scalaire pour des fonctions est $(g|f)=\int_0^{2\pi} \overline{g(t)}\; f(t) \: dt$, d'où $(e_n|f)=\int_0^{2\pi} \overline{e^{int}}\; f(t) \: dt=\int_0^{2\pi} e^{\emph{-}int}\; f(t) \: dt$
\end{dfn}

On aurait très bien pu intégrer sur $[-\pi,\pi]$ au lieu de $[0,2\pi]$. C'est ce qu'on fera plus tard avec les coefficients trigonométriques.
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $g : t \mapsto f(-t),\: c_n(g) = c_{-n}(f)$
\item $f_a : t \mapsto f(t + a),\: c_n(f_a) = e^{ina}c_n(f)$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{theorem}[Dérivée de $f$]
$c_n(f') = in\, c_n(f)$ \\
d'où, par récurrence : $\boxed{c_n\left( f^{(k)}\right) = (in)^k c_n(f)}$
\end{theorem}
\begin{dfn}[Coefficients trigonométriques]
Pour une fonction $f$ dans $\mathcal{CM}_{2\pi}$ :\\
\begin{center}
 \fcolorbox{couleurNoirClair}{couleurClaire!20}{
$
a_n(f) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) f(t)\, dt
$} et  \fcolorbox{couleurNoirClair}{couleurClaire!20}{
$
b_n(f) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nt) f(t)\, dt
$}
 \end{center}
Ici, c'est $\dfrac{1}{\pi}$ en facteur, car $N_2^2 \left( \cos(n \bullet)\right) = \frac{1}{2}$

\end{dfn}
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $a_n(f) = c_n(f) + c_{-n}(f)$ et $b_n(f) = i(c_n(f) + c_{-n}(f))$
\item Si $f$ est paire, alors $b_n = 0 \: \forall n$
\item Si $f$ est impaire, alors $a_n = 0 \: \forall n$
\end{itemize}
\end{prop}
En général, on utilisera ces coefficients si $f$ présente une parité.
\begin{dfn}[Série de \textsc{Fourier}]
On appelle \emph{série de \textsc{Fourier}}\index{fourier@\emphi{Série de }\textsc{Fourier}} de $f$ la série $\sum u_n$ où $\left|
\begin{array}{l l l l}
u_0 &=& c_0(f) \; e_0&\\
u_n &=& c_n(f) \; e_n + c_{-n}(f) \; e_{-n}
\end{array}
\right.$\\
$S_n(f)$ est appelée \emph{somme partielle de rang $\boldsymbol n$ de la série de \textsc{Fourier}}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Inégalité de Bessel\index{inegalite@Inégalité!Bessel@de \textsc{Bessel}}]
Si $f \in \mathcal{CM}_{2\pi}$, alors : \[\sum_{k=\textcolor{Red}{-n}}^{n} \left| c_n(f) \right| ^{\textcolor{Red}{2}}\le N_2^{\textcolor{Red}{2}}(f)\]
\end{theorem}
\begin{theorem}[Théorème de convergence \textsc{Parseval}]
Si $f$\index{Parseval@\textsc{Parseval}!convergence@\emphi{théorème de }convergence} est une fonction de \uline{$\mathcal{CM}_{2\pi}$}, alors $\boxed{N_2\left(\vphantom{{3^3}^3} f-S_n(f) \right)_n}$ converge vers 0
\end{theorem}
Avec ce nouveau théorème, on trouve le cas d'égalité de l'inégalité de Bessel :
\begin{itheorem}[Égalité de Parseval\index{Parseval@\string\textsc{Parseval}!egalite@égalité}]
Si $f$ est une fonction de \uline{$\mathcal{CM}_{2\pi}$} : 
\begin{center}
\fcolorbox{couleurNoirClair}{couleurGrisFonce!15}{
$\sum_{n\textcolor{Red}{\in \mathbb{Z}}} \left| c_n(f) \right| ^{\textcolor{Red}{2}}=N_2^{\textcolor{Red}{2}}(f)$ 
}
\end{center}
En réel, cette égalité devient : 
\[
N_2^2(f) = \left( \dfrac{a_0(f)}{2} \right) ^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} \left[ a_n^2(f) + b_n(f)^2 \right]
\]
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Calcul des Coefficients]
    Si on a la suite $s_n$ telle que $\left| \begin{gathered} s_n = \sum_{k=-n}^n \alpha_k e_k \\ N_2(s_k - f) \xrightarrow[n\to +\infty ]{} 0 \end{gathered}\right. $, alors $\forall k\in \mathbb{Z}, c_n(f) = \alpha_n$
\end{theorem}
    \begin{proof}\hfill \\
        D'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}, $|c_k(s_n - f)|\le N_2(s_n - f)$. Donc $|c_k(f) - \alpha_k|\le N_2(s_n - f) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0$, d'où, quand $n\to +\infty$, $c_n(f) = \alpha_n$.
    \end{proof}
\begin{itheorem}[Théorème de convergence normale]
Si $f$ est \underline{$\mathcal{C}_{2\pi}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux\footnote{$\mathcal{C}^1$ par morceaux c'est à dire que la dérivée est continue par morceaux, à ne pas confondre avec $f \in \mathcal{CM}$}}
\begin{tabbing}
alors \= sa série de \textsc{Fourier} \emph{converge normalement} et sa somme vaut $f$ \\
 \> sa somme partielle de sa série de \textsc{Fourier} $S_n$ \emph{converge uniformément}
\end{tabbing}
\end{itheorem}
\begin{dfn}[Noyau de \textsc{Dirichlet}]
On appelle \emph{noyau de \textsc{Dirichlet}}\index{dirichlet@\textsc{Dirichlet}!Noyau}, et on note $D_p(t)$ la somme : $D_p(t)=\sum_{k=-p}^p e^{ikt}$
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Noyau de \textsc{Dirichlet}]
Si $f \in \mathcal{CM}_{2\pi}$ et $C^1$ par morceaux, alors sa série de \textsc{Fourier} \emph{converge simplement} sur \Reel{}. \\
\emph{Sa somme} au point $x$, notée $\overset{\sim}{f}(x)$ est égale à $\frac{1}{2}\lim_{h\to 0^+}[f(x+h) + f(x-h)]$. Si $f$ est \emph{continue}, alors $\overset{\sim}{f}(x) = f(x)$.
\end{itheorem}
% section Espaces préhilbertiens (end)
\part{Analyse}
\chapter{Séries numériques et vectorielles} % (fold)
\label{cha:series}
\begin{methode}
     \titre{Étude d'une série}
Prenons le cas d'étude d'une série : $ \sum u_n$
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $\sum u_n$ est positive. \\ Si elle ne l'est pas, on peut prendre $N(\sum u_n)$. Dans \Reel{}, on prendra $\left| \sum u_n \right|$.
    \item Utiliser un théorème de comparaison pour ramener à des séries facilement étudiables. On peut : 
    \begin{itemize}
        \item Trouver un équivalent (en utilisant des \glspl{DL})
        \item Trouver une domination en $o(\cdots)$ ou en $O(\cdots)$
        \item Majorer/Minorer explicitement, mais c'est rare
    \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{methode}
\section{Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie}
\begin{dfn}
La \emph{série}\index{Serie@Série} $S$ de terme général $\color{couleurFonce!90} u_n$ est la suite $\left( S_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ où on définit $S_n$ de manière suivante.
    \begin{equation}
    \underbrace{S_n = \color{couleurNoirClair} \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \color{couleurFonce!90}\underbrace{u_n}_{\text{Terme général de la série}}}_{\text{Somme partielle}}}_{\text{Suite des sommes partielles}}
    \end{equation}
    On appelle \emph{reste}\index{Reste} d'ordre $n$ de la série la différence $R_n = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k - \sum_{k=0}^{n} u_k$
\end{dfn}

\begin{dfn}[Convergence d'une série]
    On dit que la série des $u_n$ \emph{converge}\index{Convergence!serie@série} s'il existe $l$ tel que $l = \lim_{n\to \infty} S_n$ existe.\\
    Si la suite $(u_n)_n$ ne converge pas vers $0$, on dit que sa série $S_n$ \emph{diverge grossièrement}\index{Diverge!grossierement@grossièrement}
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Le terme général d'une série convergente tend vers $0$.
\end{theorem}
\Attention{La réciproque n'est pas souvent vraie. Exemple classique : $\sum \dfrac{1}{n}$}
\begin{itheorem}[Théorème suite-série]
    La série $S_n = \sum_{k=0}^n (a_{n+1}-a_n)$ converge \emph{\uline{si et seulement si}} la suite $(a_n)$ \uline{converge}.
\end{itheorem}
\subsection{Convergence absolue} % (fold)
\label{sub:convergence_absolue}
\begin{dfn}[Convergence absolue]
     Soit $(E, \| \cdot \|)$ un espace vectoriel normé, $(u_n)$ une suite d'éléments de $E$. \\
La série $\sum u_n$ de $E$ est dite \emph{absolument convergente}\index{Convergence!absolue} si la série des normes $\sum \| u_n \|$ est convergente.
\end{dfn}
\begin{itheorem}
     Convergence absolue $\implies $ convergence.
\end{itheorem}
% subsection convergence_absolue (end)
\subsection{\acrlong{SATP}}
\begin{dfn}[\acrlong{SATP}\index{SATP}]
    On appelle \emph{\acrfull{SATP}} toute série de terme général $u_n$ réel telle que, \emphhs{à partir d'un certain rang}, $u_n \ge 0$.
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Convergence des \gls{SATP}]
    Si $\sum u_n$ est une \gls{SATP}, alors :
    \begin{equation}
        \sum u_n \text{ converge} \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n u_n \text{ est majorée}
    \end{equation}
\end{itheorem}
\section{Complément sur les séries numériques} % (fold)
\label{sec:complement_sur_les_series_numeriques}
\subsection{Règle de d'\textsc{Alembert}} % (fold)
\label{sub:regle_de_d_alembert}
\begin{lemme}
    Pour toute suite $(u_n)$ \uline{strictement positive}, s'il existe une suite $(\alpha_n)$ \uline{strictement positive} telle que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le \dfrac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}$, alors 
    \begin{equation}
    u_n \underset{+\infty}{=} O(\alpha_n)
    \end{equation}
\end{lemme}
\begin{itheorem}[Règle de d'\textsc{Alembert}]\label{th:Regle_de_dAlembert}
    Soit $\sum u_n$ une série d'éléments de $E$, telle que (à partir d'un certain rang) $u_n \neq 0$.\\
    Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \xrightarrow[n\to +\infty] L$ alors :
    \begin{equation}
    \left\lbrace
    \begin{aligned}
        \text{Si } L >1, & \sum u_n \text{ diverge grossièrement}   \\
        \text{Si } L <1, & \sum u_n \text{ converge} 
    \end{aligned}
    \right.
    \end{equation}
\end{itheorem}
Ce théorème est peu utile car il est \og{}trop vrai\fg{}, mais on l'introduit principalement en vue de l'étude des séries entières.
% subsection regle_de_d'alembert (end)
\subsection{Séries alternées} % (fold)
\label{sub:series_alternees}
\begin{dfn}[Série alternée]
    La série $\sum u_n$ est une \emph{série alternée}\index{Serie@Série!alternee@alternée} s'il existe $(\alpha_n)$ une suite positive et $\varepsilon \in \lbrace -1 ; 1 \rbrace$ tels que $u_n = \varepsilon (-1)^n\alpha_n$
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Théorème spécial des séries alternées\index{TSSA} (TSSA)]
    Si $\left\lbrace \begin{aligned} \sum u_n &\text{ est une série alternée}\\ (|u_n|) &\text{ est décroissante} \\ (|u_n|) &\xrightarrow[+\infty]{} 0 \end{aligned}\right.$, alors $\sum u_n$ \uline{converge} et $\forall n \ge 0, \textcolor{couleurImp}{\left| \vphantom{\sum_{k=n}^{+\infty}} \right. } \sum_{k=n}^{+\infty}u_k \textcolor{couleurImp}{\left. \vphantom{\sum_{k=n}^{+\infty}} \right| } \le \textcolor{couleurImp}{|} u_n\textcolor{couleurImp}{|}$
\end{itheorem}
\Attention{Ne pas oublier les valeurs absolues pour l'étude des séries alternées.}
% subsection series_alternees (end)
\subsection{Comparaison série intégrale} % (fold)
\label{sub:comparaison_serie_integrale}
\begin{theorem}
    \begin{subequations}
     Soit $f$ telle que $u_n=f(n)$.\\
    Si $f$ est \emphhs{décroissante} et \emphhs{continue} sur l'intervalle $[0, +\infty[$, alors on peut encadrer :
     \begin{equation}
     \int_{n-1}^{n} f(t) \d t \ge f(n) \ge \int_n^{n+1} f(t) \d t
     \end{equation}
    Si $f$ est \emphhs{croissante} et \emphhs{continue} sur l'intervalle $[0, +\infty[$, alors on peut encadrer :
     \begin{equation}
     \int_{n-1}^{n} f(t) \d t \le f(n) \le \int_n^{n+1} f(t) \d t
     \end{equation}
     \end{subequations}
\end{theorem}
\needspace{7cm}
\begin{itheorem}[Comparaison d'une série à une intégrale]
    Si $f$ est une fonction continue par morceaux, \emphh{positive} et \emphh{décroissante}  sur $\Reel^+$.\\
    Notons $w_n = \left( \int_{n-1}^n f \right) - f(n)$. La série $\sum w_n$ est une \gls{SATP} convergente.\\
    \begin{equation}
        f \in \mathcal{L}^1 \Leftrightarrow \sum f(n) \text{ converge}
    \end{equation}
    En cas de divergence, $\int_0^{n} f \underset{n \to +\infty}{\sim}\sum f(n)$\\[\baselineskip]

    Si $f$ est une fonction continue par morceaux, \emphh{positive}, \emphh{croissante} et \textcolor{couleurImp}{\uline{majorée}} sur $\Reel^+$, alors la série de terme général $\left( \int_n^{n+1} f \right) - f(n)$ est une \gls{SATP} convergente.
\end{itheorem}
% subsection comparaison_serie_integrale (end)
\subsection{Comparaison des \gls{SATP}} % (fold)
\label{sub:comparaison_des_satp}
\begin{theorem}[Théorème de comparaison des \glspl{SATP}]
    Si on a deux suites $u_n$ et $v_n$ de $\Reel{}^\mathbb{N}$ telles qu'on ait une des conditions suivantes : $
    \left\lbrace
    \begin{aligned}
        u_n &\le v_n    \\
        u_n &= o(v_n)   \\
        u_n &= O(v_n)
    \end{aligned}
    \right. $, alors $\sum v_n$ converge $\implies \sum u_n$ converge. \par

    On a également la contraposée : 
    $\sum u_n$ diverge $\implies \sum v_n$ diverge
\end{theorem}
%\textbf{Remarque : }Si $u_n \sim v_n$, alors $u_n$ et $v_n$ sont de même nature.
\begin{theorem}[2\ieme{} théorème de comparaison des \glspl{SATP}]
     Soient $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ \emphhs{deux suites positives}. \newline
     Si $u_n \sim v_n$, alors $u_n$ et $v_n$ sont de même nature.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Sommation des relations de comparaison (convergence)]
     Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries \emphhs{convergentes} à termes positifs.\\
     Notons $R_n$ et $R_n'$ leurs restes respectifs d'ordre $n$.
     \begin{itemize}
         \item Si $u_n = O(v_n)$, alors $R_n = O(R_n')$. 
         \item Si $u_n = o(v_n)$, alors $R_n = o(R_n')$. 
         \item Si $u_n \sim v_n$, alors $R_n \sim R_n'$. 
     \end{itemize}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Sommation des relations de comparaison (divergence)]
     Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries \emphhs{divergentes} à termes positifs.\\
     Notons $S_n$ et $S_n'$ leurs sommes partielles respectives d'ordre $n$.
     \begin{itemize}
         \item Si $u_n = O(v_n)$, alors $S_n = O(S_n')$. 
         \item Si $u_n = o(v_n)$, alors $S_n = o(S_n')$. 
         \item Si $u_n \sim v_n$, alors $S_n \sim S_n'$. 
     \end{itemize}
\end{itheorem}
\needspace{7cm}
\begin{theorem}[\textsc{Césaro}\index{Cesaro@\textsc{Césaro}}]
    Si $\sum \alpha_n$ est une \gls{SATP} \uline{divergente}, et que $(\beta_k)$ est une suite \uline{complexe convergente} vers $\beta$, alors la suite $(S_n)$ de terme général : 
    \[
        S_n = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^n \alpha_k \beta_k}{\displaystyle \sum_{k=0}^n \alpha_k}
    \]
    (définie à partir d'un certain rang) converge vers $\beta$.\par
    La moyenne de \textsc{Césaro} apparait en prenant la suite $\alpha_k = 1$ $\forall k$, car alors $\sum \alpha_k = n$ et : 
    \[
        S_n = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^n \beta_k}{n}
    \]
    C'est la moyenne des termes de la suite $\beta_k$, et on sait qu'elle converge si $\beta_k$ converge.
\end{theorem}
\begin{proof}
     L'idée est de séparer la somme en deux. Prenons $\varepsilon > 0$. Soit $l$ la limite de la suite $\beta_k$.\newline 
     Soit $N$ tel que $\forall n\ge N,\, | \beta_n - l | < \varepsilon$. Alors :
     \begin{align*}
          S_n - l &= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^N \alpha_k (\beta_k - l)}{\displaystyle \sum_{k=0}^n \alpha_k} + \dfrac{\displaystyle \sum_{k=N}^n \alpha_k (\beta_k - l)}{\displaystyle \sum_{k=0}^n \alpha_k}
          \intertext{La somme allant jusqu'à $N$ ne dépendant plus de $n$ :}
          S_n - l &\le \dfrac{\text{constante}}{\displaystyle \sum_{k=0}^n \alpha_k} + \dfrac{\displaystyle \sum_{k=N}^n \alpha_k}{\displaystyle \sum_{k=0}^n \alpha_k}\cdot \varepsilon \\
          S_n - l &\le \dfrac{\text{constante}}{\pm\infty } + 1\cdot \varepsilon
     \end{align*}
     On a majoré par quelque chose d'aussi petit qu'on veut, et alors $S_n$ converge \qed
\end{proof}
% subsection comparaison_des_satp (end)
% section complement_sur_les_series_numeriques (end)
\section{Hors programme} % (fold)
\label{sec:hors_programme}
Tous les théorèmes vus ici sont à démontrer.
\begin{itheorem}[Transformation d'\textsc{Abel}]
    Soient deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de $\mathbb{K}^\mathbb{N}$. On note $B_n = \sum_{k=0}^n b_k$. Alors :
    \begin{equation}
    \sum_{k=0}^n a_k b_k = a_n B_n + \sum_{i=0}^{n\textcolor{couleurImp}{-1}} (a_i - a_{i+1}) B_i
    \end{equation}
    On peut en déduire, si on a les conditions $\left\lbrace \begin{array}{l}
        \sum (a_i - a_{i+1}) \text{ CVA vers }0 \\
        B_n = \sum_{k=0}^n b_k \text{ est bornée}
    \end{array}\right.$, que $\sum a_k b_k$ converge.
\end{itheorem}
\begin{proof}
    On remarque que $b_i = B_{i} - B_{i-1}$, avec $b_0 = B_0$. Il vient : 
    \begin{align*}
        \sum_{k=0}^n a_k b_k    &= a_0 b_0 + \sum_{k=1}^n a_k \left( B_k - B_{k-1} \right) \\
                                &= a_0 b_0 + \sum_{k=1}^n a_k B_k - \sum_{k=1}^n a_k B_{k-1} \\
                                \intertext{On change d'indice sur la deuxième somme, et comme $b_0 = B_0$ : }
                                &=  a_0 B_0 + \sum_{k=1}^n a_k B_k - \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} B_k \\
                                &= \sum_{k=0}^{n-1} a_k B_k + a_n B_n - \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} B_k \\
                                &= a_n B_n + \sum_{k=0}^{n-1} (a_{k} - a_{k+1}) B_k
    \end{align*}
\end{proof}
% section hors_programme (end)
% chapter series (end)
\chapter{Familles sommables de nombres complexes} % (fold)
\label{cha:familles_sommables_de_nombres_complexes}
\section{Ensembles dénombrables} % (fold)
\label{sec:denombrement}
\begin{dfn}[Ensemble fini]
     On dit que $E$ est un \emph{ensemble fini}\index{Ensemble!fini} de cardinal $n$ si $E$ est en bijection avec $[\![ 0 , n [\![$
\end{dfn}
\begin{dfn}[Equipotence]
     Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits \emph{équipotents}\index{Ensemble!equipotent@équipotent} (ou en bijection) s'il existe une application $\varphi : E \to F$ telle que $\varphi$ soit bijective.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Ensemble dénombrable]
     On dit que $E$ est un \emph{ensemble dénombrable}\index{Ensemble!denombrable@dénombrable} s'il est équipotent à $\mathbb{N}$
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Toute partie \emphh{infinie} de $\mathbb{N}$ est dénombrable.
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Un ensemble est fini ou dénombrable (\emph{au plus dénombrable}) \emphh{si et seulement si} il est équipotent à une partie de $\mathbb{N}$
\end{theorem}
\begin{itheorem}
     L'ensemble $\mathbb{N}^2$ est dénombrable.
\end{itheorem}
\begin{proof}
     On utilise la \emphh{fonction de couplage de \textsc{Cantor}}\index{Cantor@\textsc{Cantor}} : 
     \begin{equation}
     f(p,q) = q + \sum_{i=0}^{p+q} i
     \end{equation}
     On montre que cette fonction est bijective.
     %TODO Fonction de Cantor
\end{proof}
\todo{ Fonction de Cantor}
\begin{dfn}[Produit cartésien]
     Un produit cartésien fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou  dénombrables est finie ou  dénombrable.\\[5mm]
     Ainsi, $\mathbb{Q}$ est dénombrable : \[\mathbb{Q} = \bigcup_{q\in\mathbb{N}^*}\left\lbrace \vphantom{\mathbb{N}} \frac{p}{q}, p \in \mathbb{Z} \right\rbrace\]
\end{theorem}
\begin{theorem}
     L'ensemble \Reel{} n'est pas dénombrable.
\end{theorem}
% section denombrement (end)
\section{Familles sommables} % (fold)
\label{sec:familles_sommables}
\subsection{Pour les réels positifs} % (fold)
\label{sub:pour_les_reels_positifs}
\begin{dfn}[Famille sommable de réels positifs]
     Soit une famille $(u_i)_{i\in I}$ de nombres réels positifs. Une famille est \emph{sommable}\index{Famille!sommable} s'il existe un réel $M$ tel que, pour toute partie finie $J \subset I $, on ait :
     \begin{subequations}
     \begin{equation}
     \sum_{i \in J} u_i \le M
     \end{equation}
     On définit la somme de cette famille par
     \begin{equation}
     \sum_{i\in I} u_i = \sup_J \sum_{n\in J} u_n
     \end{equation}
     \end{subequations}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Sommation par paquets]
     Soit une famille $(u_i)_{i\in I}$ de nombres réels positifs.\newline
     Soit $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une partition \emphhs{dénombrable} de $I$.\par
     La famille $(u_i)_{i\in I}$ est sommable \emphh{si et seulement si} :
     \begin{itemize}
         \item la sous-famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable pour tout $n$
         \item la série $\sum \left( \sum_{i\in I_n} u_i \right)$ est convergente
     \end{itemize}
     Dans ce cas : 
     \begin{equation}
     \sum_{n\in I} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sum_{i\in I_n} u_i \right)
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Sommation triangulaire]
     Soit $(u_{p,q})_{(p,q)\in \mathbb{N}^2}$ une famille de réels positifs.\newline
     \begin{equation}
          \begin{array}{r c l}
               (u_{p,q})_{(p,q)\in \mathbb{N}^2} \text{ est sommable} & \Leftrightarrow & \displaystyle\sum_n \left( \displaystyle\sum_{p+q = n} u_{p,q} \right)\text{ converge} \\
               \displaystyle\sum_{(p,q)\in \mathbb{N}^2} u_{p,q} & = & \displaystyle\sum_n \left( \displaystyle\sum_{p+q = n} u_{p,q} \right) \\
          \end{array}
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection pour_les_reels_positifs (end)
\subsection{Pour les réels et les complexes} % (fold)
\label{sub:famille_sommable_complexe_reel}
\begin{dfn}[Famille sommable]
     Une famille $(u_i)_{i\in I}$ de $\mathbb{K}^\mathbb{N}$ est \emph{sommable}\index{Famille!sommable} si la famille de réels positifs $(|u_i|)_{i\in I}$ est sommable.
\end{dfn}
\begin{theorem}
     $(u_i)_{i\in I}$ est \emphh{sommable} $\Leftrightarrow \sum_{i\in I} u_i$ \emphh{ absolument covergente}
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Sommation par paquets]
     Soit une famille $(u_i)_{i\in I}$ de nombres réels positifs.\newline
     Soit $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une partition \emphhs{dénombrable} de $I$.\par
     La famille $(u_i)_{i\in I}$ est sommable \emphh{si et seulement si} :
     \begin{itemize}
         \item la sous-famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable pour tout $n$
         \item la série $\sum_n \left( \sum_{i\in I_n} \textcolor{couleurImp}{|}u_i \textcolor{couleurImp}{|} \right)$ est convergente
     \end{itemize}
     Dans ce cas : 
     \begin{equation}
     \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sum_{i\in I_n} u_i \right) = \sum_{n\in I} u_n
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Théorème de \textsc{Fubini}\index{Fubini@\textsc{Fubini}}]
     Soit $u = \Big( u_{p,q}\Big)_{(p,q)\in \mathbb{N}^2} $ une famille de nombres réels ou complexes. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes : 
     \begin{itemize}
         \item La famille $u$ est sommable
         \item $ 
         \displaystyle\left\lbrace \begin{array}{r r l}
              \forall q,\quad& \text{ la série } \sum_p u_{p,q} & \text{ converge absoluement}\\
              &\text{ la série } \sum_q \sum_{p=0}^{+\infty} | u_{p,q} | & \text{ converge absoluement}
         \end{array}\right.
          $
          \item $
         \displaystyle\left\lbrace \begin{array}{r r l}
              \forall p,\quad& \text{ la série } \sum_q u_{p,q} & \text{ converge absoluement}\\
              &\text{ la série } \sum_p \sum_{q=0}^{+\infty} | u_{p,q} | & \text{ converge absoluement}
         \end{array}\right.
          $
     \end{itemize}
     Dans ce cas, on a : 
     \begin{equation}
     \sum_{p,q\in \mathbb{N}^2} u_{p,q} = \sum_{q=0}^{+\infty} \left( \sum_{p=0}^{+\infty} u_{p,q} \right) = \sum_{p=0}^{+\infty} \left( \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q} \right) 
     \end{equation}
     
\end{itheorem}
\begin{theorem}
     Soient $(a_p)_{p\in \mathbb{N}}$ et $(b_q)_{q\in \mathbb{N}}$ deux familles sommables. Alors la famille $\big( a_p b_q\big)_{(p,q)\in \mathbb{N}^2}$ est sommable et 
     \begin{equation}
     \sum_{(p,q)\in \mathbb{N}^2} a_p b_q= \left( \sum_{p\in \mathbb{N}} a_p \right) \left( \sum_{q\in \mathbb{N}} b_q \right)
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
     Ce théorème est issu du théorème de \textsc{Fubini} (\textit{cf.} théorème \ref{th:fubini} page \pageref{th:fubini}) : les deux suites $(a_p)_{p\in \mathbb{N}}$ et $(b_q)_{q\in \mathbb{N}}$ sont sommables, donc leurs séries convergent absolument, et les hypothèse du théorème de \textsc{Fubini} sont alors vérifiées.
\end{proof}
\begin{itheorem}[Sommation triangulaire]
     Soit $(u_{p,q})_{(p,q)\in \mathbb{N}^2}$ une famille de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$.\newline
     \begin{equation}
          \begin{array}{r c l}
               (u_{p,q})_{(p,q)\in \mathbb{N}^2} \text{ est sommable} & \Leftrightarrow & \displaystyle\sum_n \left( \displaystyle\sum_{p+q = n} |u_{p,q}| \right)\text{ converge} \\
               \displaystyle\sum_{(p,q)\in \mathbb{N}^2} u_{p,q} & = & \displaystyle\sum_n \left( \displaystyle\sum_{p+q = n} u_{p,q} \right) \\
          \end{array}
     \end{equation}
\end{itheorem}
\Attention{Faire attention à bien mettre des modules partout}
\begin{dfn}[Produit de \textsc{Cauchy}]
     Soit $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries de nombres complexes. On appelle \emph{produit de \textsc{Cauchy}}\index{Produit de Cauchy@Produit de \textsc{Cauchy}} des séries la série $\sum_{p+q=n} u_p\, v_q = \sum_{k=0}^n u_k \, v_{n-k}$.
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Avec les notations précédentes, si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont absolument convergente, alors leur produit de $\textsc{Cauchy}$ est une série absolument convergente et : 
        \begin{equation}
        \sum_{k=0}^{+\infty} u_k \, v_{n-k} = \left( \sum_{p=0}^{+\infty} u_p \right) \left( \sum_{q=0}^{+\infty} v_q \right) 
        \end{equation}
        
\end{theorem}
% subsection famille_sommable_complexe_reel (end)
% section familles_sommables (end)
% chapter familles_sommables_de_nombres_complexes (end)
\chapter{Suites de fonctions}
\begin{methode}
    En général, pour la \uline{convergence simple}, on \emph{fixe $x$}. Pour la \uline{convergence uniforme}, puisqu'on cherche la norme $N_\infty$, on \emph{dérive $f_n(x)$} pour étudier ses variations.
\end{methode}
\section{Convergence simple, convergence uniforme}
\begin{dfn}
Définitions simplifiées des différents types de convergence
\begin{equation}\label{CV fonctions}
\begin{array}{r c l} % Ces définitions sont très mauvaises :/
\text{La suite des }\left(f_n\right) \text{ converge \emph{simplement} vers } f&\Leftrightarrow &\forall x, \left(f_n(x)\right)_n \to f(x)\\
\text{La suite des }\left(f_n\right) \text{ converge \emph{uniformément} vers } f&\Leftrightarrow &N^A_\infty\left(\underbrace{f_n-f}_{\in B(A,F)}\right)\xrightarrow[\textcolor{RoyalBlue}{n}\to +\infty]{}0\\
\left(f_n(x)\right)_n\text{{\footnotesize  vérifie le \emph{critère de Cauchy de CU}}}&\Leftrightarrow&\forall \varepsilon>0\, |\, n\ge n_0(\varepsilon) \Rightarrow N^A_\infty\left((f_n-f)\right)< \varepsilon\\
\end{array}
\end{equation}
Le critère de Cauchy de convergence uniforme est équivalent à la convergence uniforme. $\boxed{\text{Critère de Cauchy}\Leftrightarrow\text{Convergence Uniforme}}$
\end{dfn}
\begin{figure}[h t]

\subfloat[Convergence Simple]{
	\begin{tikzpicture}
		
\draw [thin,gray,->] (-1,0) -- (3,0) node[right]{$x$}; 
\draw [thin,gray,->] (0,-1) -- (0,3) node[above]{$y$};
\draw [thick] (-1,-0.5) .. controls (1,-0.3) and (2,0) .. (3,3) node[near end, left]{$f(x)$};
\draw [thin,red!20] (-1,-0.8) .. controls (1,-0.7) and (2,-0.5) .. (3,1.7);
\draw [thin,red!40] (-1,-0.7) .. controls (1,-0.5) and (2,-0.2) .. (3,2);
\draw [thin,red!90] (-1,-0.6) .. controls (1,-0.4) and (2,-0.1) .. (3,2.5) node[near end, right]{$f_n(x)$};
\draw [thick,color=RoyalBlue, ->,>=stealth] (3.1,1.5) .. controls (3.3,2) and (3.3,2.6) .. (3.1,2.9) node[midway, right]{$n$ croissant};
	\end{tikzpicture}
}
\subfloat[Convergence Uniforme]{
	\begin{tikzpicture}
		
\draw [thin,gray,->] (-1,0) -- (3,0) node[right]{$x$}; 
\draw [thin,gray,->] (0,-1) -- (0,3) node[above]{$y$};
\draw [thick] (-1,-0.5) .. controls (1,-0.3) and (2,0) .. (3,3) node[near end, left]{$f(x)$};
\draw [thin,red!20] (-1,-0.8) .. controls (1,-0.7) and (2,-0.5) .. (3,1.7);
\draw [thin,red!40] (-1,-0.7) .. controls (1,-0.5) and (2,-0.2) .. (3,2);
\draw [thin,red!90] (-1,-0.6) .. controls (1,-0.4) and (2,-0.1) .. (3,2.5) node[near end, right]{$f_n(x)$};
\draw [thick,color=RoyalBlue, ->,>=stealth] (3.1,1.5) .. controls (3.3,2) and (3.3,2.6) .. (3.1,2.9) node[midway, right]{$n$ croissant};
\draw [very thick,<->] (1,-0.6) -- (1,0) node[midway, right]{$N_\infty$};
	\end{tikzpicture}
}
\caption{Les différents types de convergence de fonction}
\end{figure}
\begin{theorem}
     $(f_n)$ \gls{CVU} vers $f$ $\implies$ $(f_n)$ \gls{CVS} vers $f$
\end{theorem}
\begin{prop}[de la simple convergence]
\begin{list}{-}{ }
\item $\left\lbrace
\begin{array}{l c l}
f:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}& & \\
\left(f_n(x)\right)_n\text{ est croissante}&\Leftrightarrow&f\text{ est croissante}\\
\left(f_n(x)\right)_n\ \xrightarrow[x\in{}A]{\acrshort{CVS}}f& & \\
\end{array}\right.$
\item (autres propriétés analogues de $f_n$ appliquées à $f$ par \acrshort{CVS})
\end{list}
\end{prop}
%
\section{Continuité, double limite} % (fold)
\label{sec:continuite_double_limite}
\begin{theorem}
     Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues en un point $a\in A$. Si $(f_n)$ converge uniformément vers $u$ sur un voisinnage de $a$, alors $u$ est continue en $a$.
\end{theorem}
Le corollaire de ce théorème est alors :
\begin{theorem}[Continuité de la limite uniforme]
     Toute limite uniforme de fonctions continues sur $A$ est continue sur $A$.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Théorème de la double limite]\label{Double Limite Fonctions} 
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ définie sur $A$. \\
Soit $a$ un point adhérent à $A$.\\
Si, pour tout $n$, $f_n$ admet une limite $l_n$ en $a$ et \emphhs{converge uniformément} vers $f$ sur $A$, alors $(l_n)$ admet une limite $l$ et : 
\begin{subequations}
    \begin{align}
      \lim_{x\to a} f(x) &= \lim_{n\to +\infty} l_n = l\\
      \lim_{x\to a} \Big( \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\Big) &= \lim_{n\to +\infty} \Big( \lim_{x\to a} f_n(x) \Big)
    \end{align}
    On retiendra surtout : 
    \begin{equation}
        \boxed{
    \lim_{\textcolor{RoyalBlue}{x\to a}}\left(\lim_{\textcolor{Red}{n\to\infty}} f_n(x)\right)=\lim_{\textcolor{Red}{n\to\infty}}\left(\lim_{\textcolor{RoyalBlue}{x\to a}} f_n(x)\right)
        }
    \end{equation}
\end{subequations}
\end{itheorem}
% section continuite_double_limite (end)
\needspace{3cm}
\begin{theorem}[Convergence par changement de base]
Si $\left(f_n(x)\right)_n$ converge simplement ou uniformément \uline{\textbf{ssi}} $\left(f_{n,i}(x)\right)_n$ converge de la même manière dans la base $\mathcal{B}=(e_i)$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Conditions nécessaire de convergence uniforme]
\[
\begin{array}{r c}

\left.
\begin{array}{r}
\left(f_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}}\xrightarrow{\emph{\acrshort{CVU}}}f\\
\left(f_n(x)\right)_n\ \text{ est \emph{bornée}}\\
\end{array}\right\rbrace & \implies
\end{array}
f \text{ est \textbf{uniformément convergente} \textbf{bornée}}
\]
\end{theorem}
\begin{theorem}[Conditions nécessaire de \uline{Non}-Convergence Uniforme]
Il suffit que : 
$\exists (x_n)\text{ tel que }f(x_n)\underset{x\to{}\infty}{\nrightarrow}0$
\end{theorem}
On notera les fonctions $f$ dont la dérivée est continue de $A\to B$ comme appartenant à l'ensemble $\mathcal{C}(A,B)$

\begin{theorem}[Continuité par convergence]

\begin{align*}
\left.
\begin{array}{r}
\left(f_n(x)\right)_{n}\text{ \emph{continue} en a}\\
\left(f_n(x)\right)_n\text{ \emph{converge uniformément} vers }f\\
\end{array}\right\rbrace &\implies f\text{ est continue en }a\\
\left.
\begin{array}{r r}
&\left(f_n(x)\right)_{n}\in\mathcal{C}(A,F)\\
\left(f_n(x)\right)_n&\text{ \emph{converge uniformément} vers}\\
&f \text{ sur tout compact} \subset A\\
\end{array}\right\rbrace &\implies f\in \mathcal{C}(A,F)\\
\end{align*}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Théorème d'approximation de \textsc{Weierstrass}\index{Weierstrass@\textsc{Weierstrass}!approximation}]
Toute fonction $f\in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})$ est \emph{limite uniforme} d'une suite $\left(\mathcal{P}_n(X)\right)_n$ de fonctions polynômes.
\end{theorem}
Le même théorème existe pour les fonctions (T-périodiques à valeurs complexes) limites d'une suite de polynômes trigonométriques.
\section{Convergence des Séries}
\begin{dfn}
Définitions simplifiées des convergences de Séries de fonctions :\\
\begin{equation}\label{CV Serie}
\begin{array}{l c l}
\sum{f_n}\text{ converge \emph{simplement}}&\text{si}&\forall{}x\in{}A\text{, la série } \sum{f_n(x)} \text{ converge}\\[0.3cm]
\sum{f_n}\text{ converge \emph{uniformément}}&\text{si}&
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\begin{split}
x\in{}A\text{, la série } &(S_n)=\displaystyle\sum_0^n{f_n(x)}\\[-2mm] &\text{{\small  converge uniformément}}\end{split}\\[1cm]  
\begin{split}
x\in{}A\text{, la série } &(R_n)=\displaystyle\sum_n^\infty{f_n(x)}\\[-2mm] &\text{\small converge uniformément}\end{split}\\
\end{array}
\right. \\[2cm]
\sum{f_n}\text{ converge \emph{normalement}}&\text{si}&\sum{N_\infty (f_n)}\text{ converge}
\end{array}
\end{equation}
Pour les définitions de convergence de fonctions, se référer aux définitions \ref{CV fonctions}.
\end{dfn}
On retrouve certaines propriétés des fonctions :
\begin{theorem}

\[
\left.
\begin{array}{r}
\left(u_n(x)\right)_{n}\in\mathcal{C}(A,F)\\
\left(u_n(x)\right)_n \text{ \emph{converge uniformément} sur }A\\
\end{array}\right\rbrace \implies \sum u_n \text{ est continue sur }A\\
\]
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Théorème de la double limite]
Si $\sum f_n$ \emph{converge uniformément}, et qu'il existe $(v_n)$ telle que $v_n=\displaystyle\lim_{x\to a}f_n(x)$, alors $\sum v_n$ converge et on a :
\[\boxed{\sum^\infty_{n=0}\underbrace{\left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)}_{\mathclap{=v_n}}=\lim_{x\to a}\sum_{n=0}^\infty\left(f_n(x)\right)} \]
\end{itheorem}
\begin{proof}
C'est le théorème \ref{Double Limite Fonctions} de la double limite de suites de fonctions appliqué aux séries
\end{proof}
\section{Propriétés de la somme}
\begin{itheorem}[Intégration sous le signe somme]
\begin{equation}
\begin{array}{r c l}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_k \in \mathcal{CM}(I,\mathbb{C})\text{ et intégrable sur }I\\
S \in \mathcal{CM}(I,\mathbb{C})\\
\sum u_n \to S\\
\boxed{\sum |u_n| \text{ converge}} 
\end{array}
\right.&\Rightarrow &
\begin{array}{l}
S\text{ est intégrable, et}\\
\int_I S = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \int_I u_n \right)
\end{array}
\end{array}
\end{equation}
\end{itheorem}
\section{Séries doubles} % (fold)
\label{sec:series_doubles}
\begin{itheorem}[Interversion des sommations de \textsc{Fubini}\index{Fubini@\string\textsc{Fubini}}]\label{th:fubini}
    Si 
    $\left\lbrace \begin{array}{l}
        \big( u_{p,q} \big)_{p,q} \text{ est une suite double complexe} \\
        \forall q \in \Cmplx{}, \left( \sum \left| u_{p,q}\right| \right)_{p,q} \text{ converge} \\
        \forall q \in \Cmplx{}, \sum \left( \sum_{p=0}^{+\infty} \left| u_{p,q}\right| \right) \text{ converge}
    \end{array}\right| $, alors : 
    \begin{equation}
        \sum_{q=0}^{+\infty} \left( \sum_{p=0}^{+\infty} u_{p,q} \right) = \sum_{p=0}^{+\infty} \left( \sum_{q=0}^{+\infty}  u_{p,q} \right) 
    \end{equation}
    Avec les deux séries $\left( \sum \left( \sum_{p=0}^{+\infty} u_{p,q} \right)\right)_q$ et $\left( \sum \left( \sum_{q=0}^{+\infty}  u_{p,q} \right) \right)_p$  qui convergent
\end{itheorem}
% section series_doubles (end)
\chapter{Séries Entières}
Certains objets mathématiques ont des développements de Taylor exacts. C'est le cas notamment des polynômes, qui sont déjà des développements de Taylor. Les séries géométriques par exemple ont également un développement de Taylor exact : pour la série de terme général $q^k$, on a $\sum_0^\infty q^k = \dfrac{1}{1-q}$. Sinon, la plupart du temps, le développement de Taylor est précis jusqu'à un dernier terme qu'on ne peut calculer, mais qu'on peut quand même approximer en $o(\cdots)$ ou en $O(\cdots)$
\\
\section{Généralités}
\begin{dfn}
Soit $(a_n)_n$ une suite de nombres complexes. On appelle \emph{série entière}\index{Serie@Série!entiere@entière} de la variable complexe $z$ la série de fonctions $\sum a_n z^n$. \par
Le \emph{rayon de convergence}\index{Rayon de convergence}
est la borne supérieure de $I=\{z\in\mathbb{R}_{+},\sum|a_{n}|z^{k}\text{ converge}\}$.
C'est en fait la valeur maximale de $z$ pour laquelle la série converge.\end{dfn}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Pour calculer le rayon de convergence, il importera peu de l'étudier pour les valeurs absolues, les nombres imaginaires, etc... car c'est seulement un rayon. Dans les réels, on appèlera l'intervalle $\textcolor{Red}{\left] -R,R\right[}$ l'intervalle ouvert de convergence.
\end{minipage}\hspace{0.1\linewidth}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}
    \draw [thick, pattern=north west lines, pattern color=gray!40] (0,0) circle(1) (-120:0.9) node[below left]{$R$};    
    \draw [->,gray] (-1.2,0) -- (1.5,0) node[right]{Réels};
    \draw [->,gray] (0,-1.5) -- (0,1.2) node[above]{Imaginaires};
    \draw (0,0) -- (-60:1.3) node{$+$} node[below right]{\resizebox{.45\hsize}{!}{$\sum a_n z^n$ DV grossièrement}};
    \draw (0,0) -- (+30:0.8) node{$+$} node[above right]{\resizebox{.30\hsize}{!}{$\sum a_n z^n$ CVA}};
    \draw [very thick,Red] (-1,0) node{$]$} -- (1,0) node{$[$};
    
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\\
\begin{lemme}[d'\textsc{Abel}]
S'il existe $\rho$ tel que la suite $\left( a_n \rho^n \right)$ soit bornée, alors 
\begin{equation}
    \forall z<\rho,\left| a_n z^n \right| \le M\left( \dfrac{|z|}{\rho} \right)^n\\ \text{et }\sum a_n z^n\text{ converge absolument}
\end{equation}
\end{lemme}
\subsection{Rayon de Convergence}
\begin{itheorem}[Relations de comparaisons]
     Si $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont deux séries entières de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$, alors : 
     \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
     \begin{enumerate}
         \item Si $|a_n| \le |b_n|$, alors $R_a \ge R_b$
         \item Si $a_n = O(b_n)$, alors $R_a \ge R_b$
         \item Si $a_n = o(b_n)$, alors $R_a \ge R_b$
         \item Si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$
     \end{enumerate}
\end{itheorem}
\begin{theorem}
Sur le disque ouvert $D_R$ de convergence $]-R,R[$, la série entière $\sum a_n z^n$ converge \emphh{absolument}.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Sur le disque ouvert $D_R$ de convergence $]-R,R[$, la série entière $\sum a_n z^n$ converge \emphh{uniformément} et sa somme est une fonction \emphh{continue}.
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum na_n z^n$ ont le même rayon de convergence.
\end{theorem}
Pour déterminer le rayon, il existe plusieurs méthodes, mais on se servira principalement du théorème suivant étant une conséquence de la règle de d'\textsc{Alembert} :\\

\subsection{D'\textsc{Alembert}}
\begin{itheorem}[Règle de d'\textsc{Alembert}]
Pour la série entière $\sum a_n z^{k}$ \uline{non nulle à partir d'un certain rang}, et qu'il existe $l$ tel que 
\[
\boxed{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\xrightarrow[n\to +\infty]{}l} \text{ alors } l = \frac{1}{R}
\]
La réciproque est fausse : si on connait $R$, on n'a pas $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$\\
Sinon, on a aussi $\sqrt[n]{|a_n|}\xrightarrow[n\to +\infty]{}l$
\end{itheorem}

\begin{proof}
Il suffit d'appliquer d'Alembert (\textit{cf.} théorème~\ref{th:Regle_de_dAlembert} page~\pageref{th:Regle_de_dAlembert}) à la série de terme général $|a_n z^k|$ (qui est une \gls{SATP}) qu'on prend à partir d'un certain rang tel que $a_n \neq 0$. Donc il existe une limite $l$ telle que \[\dfrac{|a_{n+1}z^{n+1}|}{|a_nz^z|}\xrightarrow[n\to +\infty]{} l|z|\]
Donc $|a_nz^n|$ converge si $l|z| < 1$, et diverge si $l|z| > 1$.
\par
Puisque toute série entière de rayon de convergence $R>0$ est absolument convergente dans son disque ouvert de convergence.
\end{proof}
% Remarque importante du livre de Vuibert (page 441) : 
\Attention{En général, il vaut mieux utiliser le théorème original (théorème~\ref{th:Regle_de_dAlembert} page~\pageref{th:Regle_de_dAlembert}). En effet, ce théorème ne s'applique que pour des séries entières fonctions de $z^n$. Pour une série entière du type $\sum a_n z^{n^2}$, il n'est plus valable !}
\section{Série entière d'une variable réelle} % (fold)
\label{sec:serie_entiere_d_une_variable_reelle}
\subsection{Primitivation} % (fold)
\label{sub:primitivation_DSE}
\begin{theorem}
     Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Sa primitive est :
        \begin{equation}
        \forall z\in ]-R;R[,\qquad \int \limits_0^x \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \right)\d t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} 
        \end{equation}
        Et la série entière $\sum \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} $ a le même rayon de convergence $R$.
        \end{theorem}
% subsection primitivation_DSE (end)
\subsection{Dérivation} % (fold)
\label{sub:derivation_DSE}
\begin{theorem}
     La somme d'une série entière est $C^\infty$ sur l'intervalle ouvert de convergence.
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Dérivation terme à terme]
     %TODO: compléter dérivation SE
     Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Sa dérivée est :
     \begin{equation}
     \forall z\in ]-R;R[,\qquad \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \right)' = \sum_{n=\textcolor{couleurImp}{1}}^{+\infty} n a_n x^{n-1} 
     \end{equation}
     Et la série entière $\sum_{n=\textcolor{couleurImp}{1}}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$ a le même rayon de convergence.
\end{itheorem}
\Attention{Le théorème de dérivation n'est valable qu'à l'intérieur du disque de convergence !}
% subsection derivation_DSE (end)
% section serie_entiere_d_une_variable_reelle (end)
\section{Fonctions développables en série entière} % (fold)
\label{sec:fonctions_DSE}
\begin{dfn}[Fonction développable en série entière]
$f:\mathbb{K}\to\mathbb{K}$ admet un DSE\index{Developpement en serie entiere@Développement en Série Entière} en $0$ s'il existe une série entière $\sum a_n z^n$ telle que
\begin{equation}
\forall z \in \textcolor{gray}{\overset{\mathclap{\text{\begin{tiny}
boule ouverte de centre 0
\end{tiny}}}}{V}}, f(z) = \sum a_n z^{n}
\end{equation}
Cette boule ouverte de centre $0$ est inclue dans le disque de convergence du \gls{DSE} : $V \subset ]-R ; R[$.
\end{dfn}

\begin{theorem}[\gls{CNS} d'un DSE] % OLD -> revoir, maybe? 

\[
f:\mathbb{R}\rightarrow K\text{ est un DSE en 0}\Leftrightarrow \boxed{\displaystyle \int_0^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t) dt \underset{n\to\infty}{\to}0}
\]

\end{theorem}
% section fonctions_DSE (end)

% OLD
\section{Propriétés de la somme}
\subsubsection*{Continuité}
\begin{theorem}
La somme d'une série entière est continue sur son disque ouvert de convergence $R$
\end{theorem}
\subsubsection*{Dérivabilité}
\begin{theorem}[Dérivées successives]
Les dérivées successives d'une série entière de rayon de convergence $R>0$ ont toutes le même rayon de convergence $R$
\end{theorem}
\begin{theorem}
Pour des séries entières avec $R = \min (R_a,R_b)$, alors : 
\[
\forall x \in ]-R,R[, \sum a_n x^n = \sum b_n x^n \implies \forall n \in \mathbb{N}, a_n = b_n
\]
\end{theorem}

\chapter{Calcul Différentiel et Intégral}
\section{Dérivation}
\begin{dfn}[Dérivabilité\index{Derivabilite@Dérivabilité}]
$f : I \to \Reel$ est dérivable en $a \in I$ si $\lim_{x\to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe.
\end{dfn}
On notera $\mathcal{D}(I,\Reel )$ l'ensemble des applications dérivables de $I$ dans \Reel{}.

\begin{theorem}
Une application est dérivable $\ssi{}$ elle admet un développement limité d'ordre 1 au voisinage de $a$ : \\
$f$ dérivable $\Leftrightarrow \exists l$ tel que $f(x) \underset{x\to a}{=} f(a) + (x-a)l + (x-a)\varepsilon (x)$\\
Alors, $l$ est la dérivée en $a$ de $f$
\end{theorem}

\begin{prop}
\begin{description}
    \item[Continuité] $f$ dérivable $\implies f$ continue
    \item[Linéarité] $\left( f + \alpha g \right)' = f' + \alpha g'$
    \item[Dérivées usuelles] \hfill \\[-0.5cm]
        \begin{description}
            \item[Application linéaire] $u$ linéaire, $f$ dérivable; $\left( u \circ f \right)'(x) = u\circ f'(x)$
            \item[Application multi-linéaire] $\varphi$ une application $n$-linéaire;\\ 
            $\bigg( \varphi (f_1, \cdots, f_n) \bigg)'(x) = \sum_{i=0}^n \varphi \bigg( f_1(x), \cdots, f_{i-1}(x), \textcolor{Red}{f_i'(x)},f_{i+1}(x), \cdots , f_n(x) \bigg)$
            \item[Quotient] $u$ et $v$ dérivables; $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
            \item[Composition] $f$ et $g$ dérivables; $\left( f \circ g \right)' = f'\; g'(f)$
        \end{description}
\end{description}
\end{prop}

\begin{dfn}[Application $\mathcal{C}^1$]
$f \in \mathcal{C}^1\big( E,F \big)$ si l'application $f' : a \mapsto f'(a)$ existe et est continue.
\end{dfn}


\begin{dfn}[Dérivée $k$-ième]
On définit récursivement la dérivée $k$-ième $f^{(k)}$ : 
\begin{equation}
    f^{(k)}=\big( f^{(k-1)} \big) '
\end{equation}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Application de classe $\mathcal{C}^k$]
$f$ est $\mathcal{C}^k$ si $f$ est $k$ fois dérivable et si $f^{(k)}$ est continue.
\end{dfn}

\begin{theorem}[\textsc{Leibniz}]
Soit $\varphi$ une application bilinéaire, alors :
\begin{equation}\tag{Leibniz}\label{Leibniz}
\varphi^{(n)}\big( f,g \big) = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \varphi \big( f^{(k)},g^{(n-k)} \big)
\end{equation}
\end{theorem}
\section{Intégration}
\begin{itheorem}[Inégalité de la moyenne : cas réel]
    Si $f$ est \emphh{continue} sur un intervalle $[a,b]$ et qu'il existe $m$ et $M$ tels que : 
    \[
        m \le f(x) \le M
    \]
    Alors 
    \begin{equation}\label{eq:inegalite_de_la_moyenne}
    m(b-a) \le \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \le M(b-a)
    \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Somme de \textsc{Riemann}]
Soit $f:[a,b]\longto \Reel{}$. Si $f$ est intégrable, alors : 
     \begin{equation}
     S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}n\right) \\ \lim_{n\to +\infty} S_n = \int\limits_a^b f(t) \d t
     \end{equation}
     
\end{itheorem}
\section{Primitive}
\begin{dfn}[Primitive]
$F$ est une \emph{primitive}\index{Primitive} de $f$ si $\forall x, F'(x)=f(x)$. 
\end{dfn}
\begin{theorem}
%TODO Compléter le théorème
Si $F$ est une primitive de $f$,
\begin{equation}
    \int \limits_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)
\end{equation}
\end{theorem}

\section{Accroissements finis}
\subsection{Cas réel} % (fold)
\begin{theorem}[Accroissements finis\index{Accroissements finis}]
\label{thm:accroissements_finis}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
$f \in \mathcal{D}\big( ]a,b[,\Reel{} \big)$, alors 
\begin{equation}
\exists \: c \in ]a,b[ \text{ tel que }\boxed{f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)}
\end{equation}
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}
    \draw [dashed, thick, gray] (0,0.875) -- (3,1.875) node[midway, above]{$f'(c)$};
    \draw [thick] (0,0) .. controls (0.3,0) and (0.7,1.1) .. (1,1.2) .. controls (1.4,1.3) and (2.5,0.8) .. (3,1);
    \draw (0,0) node{$\bullet$} -- (3,1) node{$\bullet$};
    \draw (0,-0.2) node[below]{$a$} -- (3,-0.2) node[below]{$b$} node[midway, below]{$[a,b]$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{theorem}
\subsection{Cas vectoriel}
\begin{itheorem}[Accroissements finis\index{Accroissements finis}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
$f \in \mathcal{C}\big( ]a,b[,\Reel{} \big)$\\ 
Si $\exists \: \lambda$ tel que $ \forall t\in ]a,b[, \textcolor{couleurImp}{N}(f'(t))\leq \lambda$, alors
    \begin{equation}
        \boxed{\textcolor{couleurImp}{N\big( } f(b) - f(a)\textcolor{couleurImp}{\big) } \leq \textcolor{couleurImp}{\lambda} \big( (b-a)\big)}
    \end{equation}
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}
    \draw [color=couleurImp!70!Black] (0,0.575) -- (3,2.5) node[midway, above]{$\lambda$};
    \draw [dashed, thick, gray] (0,0.875) -- (3,1.875);
    \draw [thick] (0,0) .. controls (0.3,0) and (0.7,1.1) .. (1,1.2) .. controls (1.4,1.3) and (2.5,0.8) .. (3,1);
    \draw (0,0) node{$\bullet$} -- (3,1) node{$\bullet$};
    \draw (0,-0.2) node[below]{$a$} -- (3,-0.2) node[below]{$b$} node[midway, below]{$[a,b]$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{itheorem}
\needspace{9cm}
\section{Formules de Taylor}
\begin{itheorem}[Formules de Taylor\index{Taylor!Formules@\string\textit{(Formules)}}]
$f\in\mathcal{C}^{n+1}(I,E)$, avec $(a,b)\in I^2$
\[
\begin{array}{l c r c l}
\text{\textbf{Taylor-Young}\index{Taylor!Young}}&f(x)\underset{x\to a}{=}&\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)&+&o\left( (x-a)^n \right)   \\[0.7cm]
\text{\textbf{Taylor-Laplace}\index{Taylor!Laplace}}&f(x)=&\overbrace{\sum_{k=0}^n \dfrac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)}^{\mathclap{T_n(x)}} & + & \underset{=}{\overbrace{\int_a^x \dfrac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)dt}^{\mathclap{\text{Reste intégral }R_n(x)}}}\\
&&&&\resizebox{.35\hsize}{!}{$(x-a)^{k+1}\int_0^1\dfrac{(1-u)^k}{k!}f^{(k+1)}\left( (1-u)a+ux \right) du$}\\
\end{array}\\
\]

\[
\text{\textbf{Taylor-Lagrange} \index{Taylor!Lagrange}} \resizebox{.7\hsize}{!}{$N\left( f(b) - f(a) - \displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) \right)\le \dfrac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}N_\infty^{[a,b]}\left( f^{(n+1)} \right)$}
\]

\end{itheorem}
%\begin{theorem}[Théorème d'interversion des sommations de \textsc{Fubini}]
%
%\end{theorem}
\section{Arcs Paramétrés}
\begin{dfn}[Arc Paramétré]
On appelle \emph{arc paramétré} \index{arc parametre@Arc paramétré} de classe $\mathcal{C}^k$ un couple $\left( I,f \right)$ avec 
$
\left\lbrace
\begin{array}{c l}
I&\text{un intervalle de \Reel}\\
f&\text{une application de }\mathcal{C}^k\left( I,E \right)
\end{array}
\right.
$
\end{dfn}

\begin{dfn}
Quelques autres définitions : \\[0.3cm]
% Tableau de Définitions
\begin{tabular}{ >{\bfseries} l >{\begin{math}} c <{\end{math}} @{ — } l}
Valeur Régulière\index{Valeur!reguliere@régulière} & t_0 &$f'(t_0) \neq 0$\\
Valeur Birégulière \index{Valeur!bireguliere@birégulière}&t_0&$\left( f'(t_0),f''(t_0) \right)$ est libre\\
Abscisse Curviligne \index{Abscisse curviligne}&s&$s'=N_2\left( f'(t) \right)$ sur un intervalle\\
Paramétrage normal &\big( J,g \big)&%TODO: Finir le paramétrage normal
\end{tabular}
\end{dfn}
Exemple d'abscisse curviligne : $s : t \mapsto \sinh (t)$ car $N_2\left( s(t) \right) = \sqrt{\int |\sinh (t)|^2} = 
 \sinh{}'(t) = \cosh (t)$. L'avantage d'une abscisse curvligne est de pouvoir simplifier l'étude d'une courbe. \\
%TODO: Exemple de paramétrage régulier
%Exemple de paramétrage régulier : $\bigg( ,ch(x) \bigg)$


\needspace{19cm}
\chapter{Intégrales sur un intervalle}
%
\begin{methode}
\titre{Définitions rapides}
\begin{description}\itemsep2pt
\item[Intégrabilité]$f(x)$ intégrable si $\int \textcolor{Red}{|}f(x)\textcolor{Red}{|} < +\infty$
\item[Norme de la convergence en moyenne] \hfill \\ $N_1 : \int_I |f|$
\item[Norme de la convergence en moyenne quadratique] \hfill \\ $N_2 : f \to (f|f)^{\frac{1}{2}}$ (\textit{cf} théorème \ref{NormeAssocieProdScal} de la page \pageref{NormeAssocieProdScal})
\end{description}

\titre{Pour prouver l'intégrabilité}
\begin{enumerate}\itemsep3pt
	\item Vérifier la continuité sur l'intervalle étudié
	\item Remplacer la fonction par sa \uline{valeur absolue}
	\item Étudier les problèmes aux bornes
	\begin{itemize}\itemsep2pt
		\item Trouver un équivalent
		\item Trouver un $o(\cdots)$
		\item Avoir une primitive dont la limite vers la borne est finie
		
	\end{itemize}
	\item Comparer la fonction \hfill \\ On pourra utiliser :
	\begin{itemize}\itemsep2pt
		\item La fonction \emph{exponentielle} ; % WHAT ? Pourquoi j'ai écrit ça ??? Croissances comparées peut-être ? 
        \item Les croissances comparées ;
		\item L'intégrale de \emph{\textsc{Riemann}} : $\frac{1}{t^\alpha}$ (théorème \ref{thm:integrale_riemann} page~\pageref{thm:integrale_riemann}) \\
        \item Une extension de \textsc{Riemann} : par exemple, $f$ est intégrable sur $]0,1[$ si $\exists \alpha < 1$ tel que $f(x)\, x^\alpha \xrightarrow[x \to 0]{} 0$, car alors, quand $x$ tend vers $0$, $x^\alpha f(x) \le 1$ et on retrouve \textsc{Riemann}.
		\item L'intégrale de \emph{\textsc{Bertrand}} (hors programme) : $\dfrac{1}{|\ln (t)|^\beta t^\alpha}$
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\titre{Pour intégrer}
On utilisera
\begin{enumerate}
	\item Les intégrations par partie
	\item Un changement de variable
	\item Cauchy-Schwarz
	\item L'intégrale d'un polynôme est un polynôme
\end{enumerate}
Souvent, on ne peut intégrer sur tout un intervalle comme $[0;+\infty ]$. Pour y remédier, on peut poser $a>0$ tel que notre fonction soit intégrable sur $[a;+ \infty [$. Alors, la fonction est intégrable sur $\cup [a;+\infty [ = \Reel{}^+$
\titre{Formes usuelles}
\begin{tabulary}{\textwidth}{| c | C |}
     \emphh{Forme} & \emphh{Méthode} \\
     $\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{x}$ & Multiplier le dénominateur et le numérateur par le conjugué $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ pour obtenir $a-b$ en haut \\
     $\dfrac{\ln x}{x^\alpha}$ & On remarque que $x^{\frac{\alpha + 1}{2}}\dfrac{\ln x}{x^\alpha} = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{\alpha - 1}{2}}}$ qui tend vers $0$ en $+\infty$. On a alors $\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\underset{+\infty}{=}o \left( \dfrac{1}{x^{\frac{\alpha + 1}{2}}} \right) $. Plus qu'à appliquer \textsc{Riemann}. \\
     $\dfrac{1}{(x+a)\cdots(x+z)}$&Décomposition en éléments simples !\\
\end{tabulary}
\titre{Applications classiques des théorèmes}
\begin{tabulary}{\textwidth}{| r@{ - (} c @{) }| C |}
     Convergence dominée&\ref{thm:convergence_dominee}&Montrer que $\lim\left( \int \cdots\right) = \int \left( \lim \cdots\right) $\\
     \small{Intégration terme-à-terme}&\ref{thm:integration_terme_terme}&Montrer une égalité du type $\int f_\text{\gls{DSE}} = \int \left( \sum (\gls{DSE}) \right) = \sum \left( \int \cdots \right)$\\
     \small{Dérivation d'une intégrale à paramètre}&\ref{thm:derivation_d_une_integrale_parametres}&Dériver une fonction de type $F(x)=\int_I f(x,t)\d t$
\end{tabulary}
\end{methode}
\section{Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$} % (fold)
\label{sec:integrale_generalisee}
\subsection{Définition} % (fold)
\label{sub:definition}
\begin{dfn}[Intégrale convergente]
    \label{dfn:integrale_convergente}
     Pour $f : [a,+\infty[ \to \mathbb{K}$ une fonction $\mathcal{CPM}$, l'intégrale $\int_a^{+\infty} f$ est dite \emph{convergente}\index{Integrale@Intégrale!convergente} si la fonction $F : x \mapsto \int_a^x f$ a une limite finie en $x\to +\infty$.\\
     Si tel est le cas, on note $\int_a^{+\infty} f$ cette limite.
\end{dfn}
% subsection definition (end)
\subsection{Propriétés de l'intégrale} % (fold)
\label{sub:proprietes_integrale}
\begin{dfn}[Notation $\mathcal{L}^\frac{1}{2}$]
     Soient $E$ et $F$ deux intervalles de $\mathbb{K}$.\\
     On note $\mathcal{L}^\frac{1}{2}(E,F)$ l'ensemble des fonctions $f \in \mathcal{CPM}(E,F)$ dont la valeur absolue $|f|$ est intégrable sur $E$.
\end{dfn}
\Attention{Cette notation n'existe pas, je l'ai inventée pour alléger la suite}
\begin{theorem}[Linéarité de l'intégration]
    \label{thm:integration_linearite}
     $\mathcal{L}^\frac{1}{2}\left( [a,+\infty [,\mathbb{K} \right)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.\\
     L'application $\left\lbrace \begin{array}{r c l}\mathcal{L}^\frac{1}{2}\left( [a,+\infty [,\mathbb{K} \right) &\longto &\mathbb{K}\\f&\longmapsto &\int_a^{+\infty} f\end{array} \right\rbrace$ est \emphh{linéaire}.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Positivité]
    \label{thm:integration_positivite}
     Soit $f \in \mathcal{L}^\frac{1}{2}\bigg( [a,+\infty [,\mathbb{K}\bigg)$.\\
     Si $f$ est positive, alors : 
     \begin{equation}
     \int_a^{+\infty} f \ge 0
     \end{equation}
     De plus, si $f$ est \emphh{continue} sur $[a,+\infty[$ et si $\int_a^{+\infty} f = 0$, alors $f$ est nulle sur $[a,+\infty[$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Dérivation]
     Soit $f$ une application \emphhs{continue} de $\mathcal{L}^\frac{1}{2}\left( [a,+\infty [,\mathbb{K}\right)$.\\
     L'application $\left\lbrace \begin{array}{r c l} [a,+\infty [ &\longto &\mathbb{K}\\x&\longmapsto &\int_x^{+\infty} f\end{array} \right\rbrace$ est \emphh{dérivable} et de dérivée $(-f)$ sur $[a,+\infty [$.
\end{theorem}
% subsection proprietes_integrale (end)
% section integrale_generalisee (end)
\section{Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty [$} % (fold)
\label{sec:integrabilite}
\begin{dfn}[Fonction intégrable]
    \label{dfn:integrable}
     Soit $f$ une fonction $\mathcal{CPM}$ de $[a,+\infty[$ dans $\mathbb{K}$.\\
     On dit que $f$ est \emph{intégrable}\index{Integrable@Intégrable} sur $[a,+\infty[$ si $\int_a^{+\infty} |f|$ est convergente : 
     \begin{equation}
     f\text{ intégrable si } |f|\in\mathcal{L}^1\bigg([a,+\infty[,\mathbb{K}\bigg)
     \end{equation}
\end{dfn}
\emphh{Remarque : }Cela revient à dire que $f$ est intégrable si $\int_a^{+\infty} f$ converge absolument. 
\begin{dfn}[Notation $\mathcal{L}^1$]
     Soient $E$ et $F$ deux intervalles de $\mathbb{K}$.\\
     On note $\mathcal{L}^1(E,F)$ l'ensemble des fonctions $f \in \mathcal{CPM}(E,F)$ dont la valeur absolue $|f|$ est intégrable sur $E$.
\end{dfn}
\Attention{Une fonction dont l'intégrale converge n'est pas forcément intégrable (\textit{cf.} définition \ref{dfn:integrable} page \pageref{dfn:integrable}), c'est sa valeur absolue qui doit avoir une intégrale convergente !}\\
% Remarque de Vuibert : 
Si $\int_a^{+\infty} f$ est seulement convergente, l'intégrale est dite \emph{semi-convergente}\index{Integrale@Intégrale!semi-convergente}
\begin{theorem}
     Si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$, alors $\int_a^{+\infty} f$ converge.
\end{theorem}
% section integrabilite (end)
\section{Intégration des fonctions positives sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$} % (fold)
\label{sec:integration_fonction_positives}
\begin{itheorem}[Fonction positive intégrable]
    \label{thm:fonction_positive_integrable}
     Soit $f$ une fonction positive sur $[a,+\infty [$.\\
     L'intégrale $\int_a^{+\infty} f$ converge \ssi{} $x \longmapsto \int_a^{+\infty} f$ est majorée : 
     \begin{equation}
     \int_a^{+\infty} f\text{ converge }\Longleftrightarrow \exists M\in \mathbb{R}^+\text{ tel que }\int_a^{+\infty} f \le M
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Intégrabilité de $x \mapsto \frac{1}{x^\alpha}$]
\label{thm:integrale_riemann}
     Soit $\alpha$ dans \Reel{}.\\
     La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x^\alpha}$ est intégrable sur $[1,+\infty [$ \ssi{} $\alpha > 1$.\\[1.3\baselineskip] 
     On étudie ici des intervalles du type $[a,+\infty [$, mais il peut être bon de savoir que la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x^\alpha}$ est intégrable sur $[0,1 [$ \ssi{} $\alpha < 1$.
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Relations de comparaison]
    \label{thm:relations_de_comparaison_fonction_positive}
     Soient $f$ et $g$ deux fonctions \emphhs{réelles}, \emphhs{positives}, et \emphhs{continues par morceaux} sur $[a,+\infty [$ : 
     % \begin{itemize}
         % \item si $0\le f \le g$, l'intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty [$ implique celle de $f$ ;
         % \item si $f(x) \underset{x\to +\infty}{=} O\big( g(x)\big)$, l'intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty [$ implique celle de $f$ ;
         % \item si $f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} g(x)$, l'intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty [$ \emphh{équivaut} à celle de $f$.
     % \end{itemize}
     % Version plus explicite : 
     \\[0.4\baselineskip]
     \begin{tabular}{@{si }c@{, \qquad}c }
         $0\le f \le g$&$g \in \mathcal{L}^1\left( [a,+\infty [,\Reel{}\right)\implies f \in \mathcal{L}^1\left( [a,+\infty [,\Reel{}\right)$ \\[6mm]
             $f(x) \, \underset{\mathclap{x\to +\infty}}{=} \, \mathcal{O}\big( g(x)\big)$& $g \in \mathcal{L}^1\left( [a,+\infty [,\Reel{}\right)\implies f \in \mathcal{L}^1\left( [a,+\infty [,\Reel{}\right)$\\[6mm]
                 $f(x) \;\underset{\mathclap{x\to +\infty}}{\textcolor{couleurImp}{\sim}}\; g(x)$&$g \in \mathcal{L}^1\left( [a,+\infty [,\Reel{}\right)\textcolor{couleurImp}{\Longleftrightarrow} f \in \mathcal{L}^1\left( [a,+\infty [,\Reel{}\right)$
     \end{tabular}\\
\end{itheorem}
% section integration_fonction_positives (end)
\section{Intégration sur un intervalle quelconque} % (fold)
\label{sec:integration_intervalle_quelconque}
\subsection{Sur un intervalle semi-ouvert} % (fold)
\label{sub:sur_un_intervalle_semi_ouvert}
% Je vais pas réecrire/copier tout en changeant juste un signe, ça va alourdir pour rien, donc : 
Les définitions et théorèmes vus dans les sections précédentes s'appliquent en remplaçant $+\infty$ par un réel $b$ quelconque de \Reel{}. On effectue alors l'étude sur un semi-ouvert $[a,b[$. On retrouve alors : 
\begin{itemize}[label=$-$]
    \item la définition \ref{dfn:integrale_convergente} d'une intégrale convergente ;
    \item la définition \ref{dfn:integrable} d'une fonction intégrable ;
    \item le théorème \ref{thm:fonction_positive_integrable}, \gls{CNS} d'une fonction positive intégrable ;
    \item le théorème \ref{thm:relations_de_comparaison_fonction_positive} des relations de comparaisons.
\end{itemize}
\begin{itheorem}[Intégrabilité de $x\mapsto \frac{1}{(x-a)^\alpha}$]
     Soit $\alpha$ dans \Reel{}.\\
     La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{(x-a)^\alpha}$ est intégrable sur $]a,b]$ \ssi{} $\alpha < 1$ ($x-a > 0$). \\
     La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{|x-a|^\alpha}$ est intégrable sur $[b,a[$ \ssi{} $\alpha < 1$ \newline ($x-a < 0$).
\end{itheorem}
% subsection sur_un_intervalle_semi_ouvert (end)
\subsection{Sur un intervalle de la forme $]a,b[$} % (fold)
\label{sub:intervalle_ouvert}
\begin{dfn}[L'ensemble $\overline{\Reel}$]
     On note $\overline{\Reel}$ l'ensemble $\Reel{} \cup \{ -\infty, +\infty \}$. 
\end{dfn}
\Attention{L'ensemble $\overline{\Reel}$ n'a aucune des propriétés algébriques familières qu'on a dans $\Reel{}$ : par exemple, $a+b=a+c\implies b=c$ n'est plus vrai dans $\overline{\Reel}$.} \\ % Remarque de Aleg sur 'http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,317735,317744#msg-317744'
\begin{dfn}[Intégrale convergente sur un ouvert]
     Soit $f$ une fonction $\mathcal{CPM}\big( ]a,b[,\mathbb{K}\big)$. Soit $(a,b) \in \overline{\Reel}^2$. \\
     L'intégrale $\int_a^b f$ est dite \emph{convergente}\index{Integrale@Intégrale!convergente} s'il existe $c\in ]a,b[$ tel que les deux intégrales $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent sur leur intervalle semi-ouvert. On pose alors : 
     \begin{equation}
     \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f
     \end{equation}
\end{dfn}
% Idem : je vais pas réecrire/copier tout en changeant juste un signe, ça va alourdir pour rien, donc : 
Les définitions et théorèmes vus dans les sections précédentes s'appliquent en remplaçant $+\infty$ par un réel $b$ quelconque de \Reel{}. On effectue alors l'étude sur un ouvert $]a,b[$ et on retrouve : 
\begin{itemize}[label=$-$]
    \item la définition \ref{dfn:integrale_convergente} d'une intégrale convergente ;
    \item la définition \ref{dfn:integrable} d'une fonction intégrable ;
    \item le théorème \ref{thm:fonction_positive_integrable}, \gls{CNS} d'une fonction positive intégrable.
\end{itemize}
% subsection intervalle_ouvert (end)
\subsection{Sur un intervalle $I$ quelconque} % (fold)
\label{sub:sur_un_intervalle_i}
\begin{theorem}[Relation de \textsc{Chasles}]
     Soit $f \in \mathcal{CPM}(I,\mathbb{K})$ dont l'intégrale sur $I$ converge. Pour tout $(a,b,c)\in \overline{I}^3$ dans $\overline{\Reel{}}$, la \emph{relation de \textsc{Chasles}}\index{Chasles@\textsc{Chasles}} nous donne : 
     \begin{equation}
     \int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f \tag{Chasles}
     \end{equation}
\end{theorem}
Soit $I$ un intervalle quelconque entre deux bornes $a$ et $b$. \\
Soit $f\in \mathcal{L}^1(I,\mathbb{K})$, on note $\int_I f$ l'intégrale $\int_a^b f$. On retrouve :
\begin{itemize}[label=$-$]
    \item le théorème \ref{thm:integration_linearite} de linéarité de l'intégration : $\mathcal{L}^1(I,\mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ;
    \item le théorème \ref{thm:integration_positivite} de positivité de l'intégration.
\end{itemize}
\begin{theorem}[Inégalité triangulaire]
    Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathcal{L}^p(I,\mathbb{K})$ avec $p\in \mathbb{R}$. L'\emph{inégalité triangulaire} des intégrale donne :
     \begin{equation}
     \left(\int_I|f+g|^p \right)^{\frac 1 p} \leq \left(\int_I|f|^p\right)^{\frac 1 p}+\left(\int_I|g|^p\right)^{\frac 1 p}
     \end{equation}
     C'est l'inégalité de \textsc{Minkowski} appliquée aux intégrales. Elle est au programme dans le chapitre~\ref{cha:fonctions_convexes} des fonctions~convexes (page~\pageref{cha:fonctions_convexes}), en tant qu'\og{}exemple d'inégalités de convexité\fg{}.
\end{theorem}
%todo DEMO MINKOWSKI
\todo{Démo de \textsc{Minkowski}}
\begin{itheorem}[Changement de variable]
     Soit $f$ une fonction \emphh{continue} sur $]a,b[$ et soit ${\varphi : ]\alpha , \beta [ \to ]a,b[}$ une fonction \emphhs{bijective} (donc strictement monotone) et de classe $\mathscr{C}^1$. \\
     Les intégrales $\int_a^b f$ et $\int_\alpha^\beta f\circ \varphi \cdot |\varphi'|$ sont de même nature. Si elles convergent, elles sont égales : 
     \begin{equation}
     \int \limits_a^b f(t)\d t = \int \limits_\alpha^\beta f\Big(\varphi(u)\Big)\cdot \varphi'(u) \d u
     \end{equation}
     \emphh{Remarque :} On a nécessairement $\lim_{x\to \alpha} \varphi (x) = a$ et $\lim_{x\to \beta} \varphi (x) = b$.
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Intégration par parties]
     Soit $(a,b)\in \overline{\Reel}^2$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions $\mathscr{C}^1$ sur $[a,b]$. \\
     Si $f\cdot g$ possède des limites finies aux bornes $a$ et $b$ de l'intervalle, alors les intégrales $\int_a^b f\cdot g'$ et $\int_a^b f'\cdot g$ sont de même nature.\\
     Si les intégrales convergent : 
     \begin{equation}
     \int \limits_a^b f(t)g'(t)\d t = \left[ fg \right]_a^b - \int \limits_a^b f'(t)g(t)\d t
     \end{equation}
     où $\left[ fg \right]_a^b = \lim_{x\to b} (f\cdot g)(x) - \lim_{x\to a} (f\cdot g)(x) $
\end{itheorem}
% subsection sur_un_intervalle_i (end)
% section integration_intervalle_quelconque (end)
\section{Intégration des relations de comparaison} % (fold)
\label{sec:integration_des_relations_de_comparaison}
\begin{itheorem}[1\ier{} théorème d'intégration des relations de comparaison]
    Soient $f$ et $g$ deux fonctions $\mathcal{CPM}\Big( [a,b[, \Reel^+ \Big)$ telles qu'on ait une des conditions suivantes : $
    \left\lbrace
    \begin{aligned}
        f &\le g    \\
        f &= o(g)   \\
        f &= O(g)
    \end{aligned}
    \right. $ (\textit{cf}. définition~\ref{dfn:domination_negligeabilite} page~\pageref{dfn:domination_negligeabilite}% C'est une définition avec les suites, mais c'est pas grave :D
    ), alors :
    \begin{subequations}
    \begin{equation}
     \int_a^b g\text{ converge} \implies \int_a^b f\text{ converge}
    \end{equation}
    On a également la contraposée : 
    \begin{equation}
    \int_a^b f\text{ diverge} \implies \int_a^b g\text{ diverge}
    \end{equation}
    \end{subequations}
\end{itheorem}
\emphh{Remarque :} D'après le programme officiel, seule la fonction de référence doit être positive. % Le problème c'est que je ne sais pas c'est laquelle moi :D Je pense que c'est g
\begin{itheorem}[2\ieme{} théorème d'intégration des relations de comparaison]
     Soient $f$ et $g$ deux fonctions $\mathcal{CPM}\Big( [a,b[, \Reel^+ \Big)$. \newline
     Si $f \sim g$, alors $f$ et $g$ sont de même nature.
\end{itheorem}
% section integration_des_relations_de_comparaison (end)
\section{Passage à la limite sous l'intégrale} % (fold)
\label{sec:passage_la_limite_sous_l_integrale}
\subsection{Convergence dominée} % (fold)
\label{sub:convergence_dominee}
\begin{itheorem}[Convergence dominée\index{Convergence!dominee@dominée} ]
\label{thm:convergence_dominee}
    Soit $n\in \mathbb{N}$. Si $\big( f_n \big)_n$ est une suite de fonction de $\mathcal{CPM}(I,K) $ convergeant simplement vers une fonction $f \in \mathcal{CPM}(I,K)$, et s'il existe $\varphi \in \mathcal{L}^1 $ telle que \ibox{$\forall n, | f_n | \le \varphi$},\newline
    alors $f \in \mathcal{L}^1$ et $\int_I f = \lim_{n \to +\infty} \int_I f_n$
\end{itheorem}
\begin{theorem}[Convergence dominée de fonction à paramètre réel]
\label{thm:convergence_dominee_reel}
    Soit $\lambda\in J\subset \Reel{}$. On suppose que :
    \begin{itemize}
        \item $\big( f_\lambda \big)_\lambda$ est une suite de fonction de $\mathcal{CPM}(I,K)$ ;
        \item pour tout $x\in I$, pour tout $\lambda_0\in \overline{J}$, $f_\lambda (x) \xrightarrow[\lambda \to \lambda_0]{} f (x)$ avec $f \in \mathcal{CPM}(I,K)$ ;
        \item il existe $\varphi \in \mathcal{L}^1 $ telle que \ibox{$\forall n, | f_\lambda | \le \varphi$}.
    \end{itemize}
    Alors, $f \in \mathcal{L}^1$, et $\int_I f = \lim_{\lambda \to \lambda_0} \int_I f_\lambda$
\end{theorem}
\todo{Démo !}
% TODO: Démo du paramètre réel. On la fait par caractérisation séquentielle sur le théorème de CVD.
% subsection convergence_dominee (end)
\subsection{Intégration terme à terme} % (fold)
\label{sub:integration_terme_terme}
\begin{itheorem}[Intégration terme à terme]
\label{thm:integration_terme_terme}
    Si $
        \displaystyle
        \left.
        \begin{array}{c c l}
        \displaystyle\sum & \underbrace{f_n} & \xrightarrow{\text{CVS}} f \\
                     & f_n \in \mathcal{L}^1 & \\
        \displaystyle\sum  \int_I \! \vphantom{\overbrace{f_n}} & \textcolor{couleurImp}{|}\overbrace{f_n}\textcolor{couleurImp}{|} & \text{converge}
        \end{array}
        \right\rbrace$, alors $f$ est intégrable et :
        \begin{equation}
        \int_I f = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n
        \end{equation}
\end{itheorem}
\emphh{Remarque :} L'hypothèse de convergence de $\displaystyle\sum  \int_I |f_n|$ est en faite une hypothèse de domination.
% subsection integration_terme_terme (end)
% section passage_la_limite_sous_l_integrale (end)
\section{Continuité d'une intégrale à paramètre} % (fold)
\label{sec:continuite_d_une_integrale_parametre}
\begin{theorem}[Continuité]
     Soit $A$ une partie d'un espace normé, et soit $I$ un intervalle de \Reel{}.\\
     Soit $f : \big( A\times I\big) \longto \mathbb{K}$ une fonction. Soit $k\in \mathbb{N}$. \\ Si : 
\begin{equation}\left\lbrace
\begin{array}{l l c}
\forall x\in A,& t \mapsto f(x,t) \in \mathcal{CM}&\boldsymbol{( \mathcal{CPM} }\text{\textbf{ pour }}\boldsymbol{t)}\\
\forall t\in I,& x \mapsto f(x,t) \in \mathcal{C}&\text{\textbf{(Continue pour }}\boldsymbol{x)}\\
\begin{array}{r}
    \forall (x,t) \in (A\times I)\\
    \exists \varphi \in \mathscr{L}^{1}\text{ tel que } \\
\end{array}& |f(x,t)|\le \varphi&\text{\textbf{(Domination)}}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
alors la fonction $F : x \mapsto \int_I f(x,t)$ est \uline{\emph{définie et continue}} sur $A$ si 
\end{theorem}
% section continuite_d_une_integrale_parametre (end)
\section{Dérivation d'un intégrale à paramètre} % (fold)
\label{sec:derivation_d_un_integrale_parametre}
\begin{itheorem}[Dérivabilité d'un intégrale à paramètre]
\label{thm:derivation_d_une_integrale_parametres}
     Soient $I$ et $A$ des intervalles quelconques de \Reel{}.\\
     Soit $f : \big( A\times I\big) \longto \mathbb{K}$ une fonction. Soit $k\in \mathbb{N}$. \\ Si : 
\begin{subequations}
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\forall x\in A, t \mapsto f(x,t) \in \mathscr{L}^1\quad \boldsymbol{(f} \text{\textbf{ intégrable pour }}\boldsymbol{t)}\\
f \text{ admet une dérivée partielle qui vérifie} \\
\left\lbrace
\arraycolsep=0.5pt\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{r l l}
\forall x \in A,& t\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \in \mathscr{L}^1 &\boldsymbol{( \mathcal{CPM} }\text{\textbf{ pour }}\boldsymbol{t)}\\
\forall t\in I,& x\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \in \mathcal{C} &\boldsymbol{(\mathscr{C}^1}\text{\textbf{ pour }}\boldsymbol{x)}\\
\forall (x,t) \in A \times \underbrace{[a,b]}_{\mathclap{\in I}},& \textcolor{Red}{\left|\textcolor{Black}{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)}\right|} \le \varphi(t) \in \mathscr{L}^1 & \text{\textbf{(Domination)}}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\end{equation}
alors, la fonction $F : x \mapsto \int_I f(x,t)$ est \uline{\emph{dérivable et $\mathscr{C}^1$}} sur $A$, et :
\begin{equation}
\forall x\in A,\qquad F'(x) = \int_I \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \d t
\end{equation}
\end{subequations}
\end{itheorem}
\needspace{7cm}
\begin{theorem}[Classe $\mathscr{C}^k$ d'une intégrale à paramètre]
     Soient $I$ et $A$ des intervalles quelconques de \Reel{}.\\
     Soit $f : \big( A\times I\big) \longto \mathbb{K}$ une fonction. Soit $k\in \mathbb{N}$. \\ Si : 
\begin{subequations}
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\forall x \in A,\, \forall j\in \llbracket 0, k - 1 \rrbracket,\quad  t \mapsto f(x,t) \in \mathscr{L}^1\quad \boldsymbol{(f} \text{\textbf{ intégrable }$\boldsymbol{k}$\textbf{ fois pour }}\boldsymbol{t)}\\
\left\lbrace
\arraycolsep=0.5pt\def\arraystretch{2.2}
\begin{array}{r l c}
\forall x \in A,\quad & t\mapsto \dfrac{\partial^{k} f}{\partial x^{k}}(x,t) \in \CM&\boldsymbol{( \mathcal{C}^{k}\mathcal{PM} }\text{\textbf{ pour }}\boldsymbol{t)} \\
\forall t\in I,\, \forall j\in \llbracket 0, k \rrbracket,\quad & x\mapsto \dfrac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t) \in \mathcal{C} &\boldsymbol{(\mathscr{C}^k}\text{\textbf{ pour }}\boldsymbol{x)}\\
\forall (x,t) \in A \times \underbrace{[a,b]}_{\mathclap{\in I}},& \textcolor{Red}{\left|\textcolor{Black}{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)}\right|} \le \varphi(t) \in \mathscr{L}^1 & \text{\textbf{(Domination)}}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Alors $t\longmapsto \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ est intégrable sur $I$, $F : x \longmapsto \int_I f(x,t) \d t$ est de classe $\mathscr{C}^k$ sur $A$, et :
\begin{equation}
\forall x \in A,\qquad F^{(k)}(x) = \int_I \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t) \d t
\end{equation}
\end{subequations}
\end{theorem}
% section derivation_d_un_integrale_parametre (end)
\section{Intégrabilité (Ancienne version)}
À l'origine, on donne plusieurs définitions de l'intégrabilité : d'abord pour les fonctions positives, puis pour les autres en disant que c'est si $|f|$ est intégrable. On donne ici une définition plus générale : 
\begin{dfn}[Fonction intégrable]
$f(x)\in \mathcal{CM}$ est intégrable sur $I$ si \\
$\forall x \in \underbrace{J}_{\mathclap{\text{segment}}} \subset I, \exists M \in \mathbb{R}^+$ \textbf{tel que} $\int_J |f| \le M$
\end{dfn}
\needspace{5cm}
\begin{itheorem}[\gls{CNS} de l'intégration]
$f(x)$ est intégrable sur $I$ si \\
$\forall x \in I, \boxed{\int_I |f| \le \varphi}$ où $\varphi \in \mathscr{L}^1$
\end{itheorem}
\begin{theorem}
Si $f$ est une fonction intégrable sur $I$,
    \begin{equation}\label{eq:SommeIntegrale}
        \left| \int_I f \right| \le \int_I \left| f \right| 
    \end{equation}
\end{theorem}
\section{Intégrales classiques}
\begin{theorem}
Si $-\infty < a < b < +\infty$, alors $f:t\mapsto \dfrac{1}{(b-a)^\alpha}$ est intégrable sur $[a,b]$ si et seulement si $\boxed{\alpha < 1}$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Intégrale de Riemann]
$f : t \mapsto \dfrac{1}{t^\alpha}$ est l'intégrale de Riemann,
$
\left\lbrace
\begin{array}{l c c l}
\int_0^1f(x)dx&\text{existe}&\Leftrightarrow&\alpha < 1\\[0.7cm]
\int_1^{+\infty}f(x)dx&\text{existe}&\Leftrightarrow&\alpha > 1
\end{array}
\right.
$
\end{theorem}
\section{Espaces vectoriels normés de fonction intégrables}
\begin{itheorem}[Convergence dominée\index{Convergence!dominee@dominée} ]
    Si $\big( f_n \big)_n$ est une suite de fonction de $\mathcal{CM}(I,K) $ convergeant simplement vers une fonction $f \in \mathcal{CM}(I,K)$, et s'il existe $\varphi \in \mathscr{L}^1 $ telle que \ibox{$\forall n, | f_n | \le \varphi$},\newline
    alors $f \in \mathscr{L}$ et $\int_I f = \lim_{n \to +\infty}, \int_I f_n$
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Intégration terme à terme]
    \begin{equation}
        \displaystyle
        \left.
        \begin{array}{c c l}
        \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} & \underbrace{f_n} & \xrightarrow{\text{CVS}} f \\
                     & f_n \in \mathscr{L}^1 & \\
        \displaystyle\sum  \int_I \vphantom{\overbrace{f_n}} & \textcolor{couleurImp}{|}\overbrace{f_n}\textcolor{couleurImp}{|} & \text{converge}
        \end{array}
        \right\rbrace 
        \implies 
        \begin{array}{l}
        f \in \mathscr{L}^1 \\
        \sum f_n \text{ converge} \\
        \int_I f = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n
        \end{array}
    \end{equation}
\end{itheorem}
\section{Fonction Gamma}
\begin{dfn}[Fonction Gamma]
On définit $\Gamma$\index{Gamma} de $]0,+\infty[$ par
$\Gamma : x \mapsto  \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$
\end{dfn}
Cette fonction est convexe (comme produit de deux applications $x \mapsto t^{x-1}$ et $x \mapsto e^{-t}$ convexes), donc continue.
\begin{itheorem}[Étude de $\Gamma$]
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a :\\
 $\bullet \quad \Gamma{}(n+1)=n!$\\
 $\bullet \quad \Gamma \left( \dfrac{1}{2} \right) =\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\dfrac{dt}{\sqrt{t}}=\cdots=\sqrt{\pi}$
\end{itheorem}
\begin{proof}
Vérifions que $\Gamma$ est une fonction continue. On utilise le théorème de continuité de fonctions paramétrés, $t \mapsto t^{x-1}e^{-t} $ est continue par morceaux, $x \mapsto t^{x-1}e^{-t} $ est continue. \\*
Pour dominer $t^{x-1}e^{-t}$, avec $x \in [a,b]$, on prend $\varphi (t)= e^{-t}(t^{a-1}+t^{b-1}) $
\par
Maintenant qu'on a étudié la continuité, on peut faire une intégration par partie de $\Gamma (n+1) = \int_0 ^\infty t^{n} e^{-t} dt$ en posant : 
\[
\begin{array}{l}
  \left\lbrace
		\begin{array}{r c l}
		u(t) = t^n &\implies & u'(t) = nt^{n-1}\\
		v(t) = -e^{-t} &\implies & v'(t) = e^{-t}
		\end{array}
  \right. \\
\implies \Gamma(n+1)=\underbrace{\left[ -t^n e^{-t} \right]_0^\infty}_{\mathclap{= -0 + 0}} - \underbrace{\int_0^\infty -t^{n-1}e^{-t}}_{\Gamma(n)}\\
\implies \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=n!\underbrace{\Gamma(1)}_{=1}
\end{array}
\]
d'où $\Gamma(n+1)=n!$	CQFD.
\end{proof}
\section{Intégrales doubles}

\begin{dfn}[Intégrale double]
$f$ une fonction continue de $[\alpha{},\beta{}]\times [a,b]$ dans $\mathbb{C}$. \\
Alors $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\left(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)dt\right)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x,t)dx\right)dt$
\end{dfn}
% chapter (end)
\chapter{Variables aléatoires discrètes} % (fold)
\label{cha:variables_aleatoires_discretes}
\begin{methode}
     \titre{Prouver qu'une application $p_\omega$ est une probabilité}
     On se sert du théorème~\ref{thm:proba_famille_sommable} page~\pageref{thm:proba_famille_sommable}, et on prend des éléments élémentaires (de la forme $\lbrace \omega \rbrace$). On montre que $(p_\omega )_{\omega}$ est une famille sommable de somme $1$, et le tour est joué ! L'application probabilité est alors $\mathbb{P} : A= \lbrace \omega_i, \omega_j, \cdots  \rbrace \longmapsto \sum_{\omega\in A} p_\omega$.
\end{methode}
\section{Espace probabilisé} % (fold)
\label{sec:espace_probabilise}
\begin{dfn}[Univers]
     Un \emph{univers}\index{univers} $\Omega$ est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.\\
     L'ensemble des parties de l'univers $\Omega$ est noté $\mathscr{P}(\Omega{})$
\end{dfn}
\begin{dfn}[Tribu, espace probabilisable, évènement]
     Une \emph{tribu}\index{Tribu} sur un univers $\Omega$ est un sous-ensemble $\mathscr{T}$ de $\mathscr{P}(\Omega{})$ vérifiant les propriétés :
     \begin{itemize}
         \item $\Omega \in \mathscr{T}$
         \item $\forall A \in \mathscr{T},\: \overline{A} \in \mathscr{T}$
         \item $\forall \left( A_n \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathscr{T}^\mathbb{N},\: \bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \in \mathscr{T}$
     \end{itemize}
     Le couple $(\Omega, \mathscr{T})$ est appelé \emph{espace probabilisable}\index{Espace!probabilisable}.\\
     Un élément de la tribu $\mathscr{T}$ est appelé un \emph{évènement}\index{Evenement@Évènement}
\end{dfn}
\begin{prop}
     Si $(\Omega, \mathscr{T})$ est un espace probabilisable, et $A_i$ un élément de $\mathscr{T}$ :
     \begin{itemize}
         \item $\varnothing \in \mathscr{T}$
         \item $\bigcup_\text{finie} A_i \in \mathscr{T}$
         \item $\bigcap_\text{finie} A_i \in \mathscr{T}$
         \item $\forall (A_n)_{n\in \mathbb{N}},\, \bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_i \in \mathscr{T}$
         \item $\forall (A,B) \in \mathscr{T}^2,\, A\cap \overline{B} = A \backslash B$
     \end{itemize}
\end{prop}
\begin{dfn}[Incompatibilité, implication]
     Deux évènements $A$ et $B$ sont dits \emph{incompatibles}\index{Evenements@Évènements!incompatibles} si $A \cap B = \varnothing$\\
     On dit que $A \underset{\text{implique}}{\implies} B$ quand $A \subset B$
\end{dfn}
\Attention{Ne pas confondre ($A \cap B = \varnothing$) et ($P(A\cap B) = 0$)}
\begin{dfn}[Système complet d'évènements]
     Soit $(\Omega, \mathscr{T})$ un espace probabilisable.\\
     Soit $I$ fini ou égal à $\mathbb{N}$.\newline
     Un \emph{système complet d'évènements}\index{Systeme complet@Système complet\emphi{ (probabilités)}} est \emphhs{une suite d'évènements} $(A_i)_{i\in I}$ telle que :
     \begin{itemize}
         \item $\bigcup_{i\in I} A_i = \Omega$
         \item $\forall (p,q) \in I^2,\, p\neq q,\, A_p \cap A_q = \varnothing$
     \end{itemize}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Probabilité]\label{dfn:probabilite}
     Soit $(\Omega, \mathscr{T})$ un espace probabilisable. La \emph{probabilité}\index{Probabilite@Probabilité} est l'application $\mathbb{P} : \mathscr{T} \to [0,1]$ telle que :
     \begin{itemize}
         \item $\mathbb{P}(\Omega) = 1$
         \item Pour toute suite $(A_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathscr{T}^\mathbb{N}$ d'évènements \emphhs{deux à deux incompatibles} : 
         \begin{itemize}
             \item $\sum \mathbb{P}(A_n)$ converge
             \item $\mathbb{P}\left( \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$\\
             ($\sigma$-additivité)
         \end{itemize}
     \end{itemize}
     Le triplet $(\Omega, \mathscr{T},\mathbb{P})$ est appelé \emph{espace probabilisé}\index{Espace!probabilise@probabilisé}
\end{dfn}
\Attention{Espace propabilisable $(\Omega, \mathscr{T}) \neq$ Espace probablilisé $(\Omega, \mathscr{T},\mathbb{P})$}\\[\baselineskip]
\begin{itheorem}[Caractérisation par une famille sommable]\label{thm:proba_famille_sommable}
     Soit $\Omega$ un univers fini ou dénombrable. \newline
     Soit une application $\left\lbrace \begin{array}{r c l} \Omega &\longto& \mathbb{R}^+ \\ \omega &\longmapsto& p_\omega \end{array}\right.$ telle que $(p_\omega)_{\omega\in\Omega}$ soit une \emphhs{famille sommable} de somme $1$.\newline
     Soit $\left\lbrace \begin{array}{r c l} \mathbb{P} : \mathscr{P}(\Omega)&\longto& \mathbb{R}^+ \\ A &\longmapsto& \sum_{\omega \in A} p_\omega \end{array}\right.$\\
     Alors $\big( \Omega, \mathscr{P}(\Omega ), \mathbb{P}\big)$ est un espace probabilisé.
\end{itheorem}
% section espace_probabilise (end)
\section{Propriétés élémentaires des probabilités} % (fold)
\label{sec:proprietes_elementaires_des_probabilites}
\begin{theorem}[Théorème de la limité monotone]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P}\big)$ un espace probabilisé.\\
     \begin{subequations}
     \begin{itemize}[leftmargin=5.5mm]
         \item Si $A_n$ est une suite croissante d'évènements ($A_n\subset A_{n+1}$), alors :
         \begin{equation}
         \mathbb{P}(A_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{} \mathbb{P}\big( \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\big) 
         \end{equation}
         \item Si $A_n$ est une suite décroissante d'évènements ($A_{n+1}\subset A_{n}$), alors :
         \begin{equation}
         \mathbb{P}(A_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{} \mathbb{P}\big( \bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n\big) 
         \end{equation}
     \end{itemize}
     \end{subequations}
\end{theorem}
Dans la définition~\ref{dfn:probabilite} de la probabilité, la propriété de $\sigma$-additivité nécessite que les évènements soient incompatibles. Cette propriété existe sous forme d'inégalité quand les évènements ne sont pas incompatibles :
\begin{itheorem}[Inégalité de \textsc{Boole}]
\index{Inegalite@Inégalité!Boole@\emphi{de} Boole}
Soit $(\Omega, \mathscr{T},\mathbb{P})$ un espace probablilisé. \\
Soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathscr{T}^\mathbb{N}$ telle que $\sum \mathbb{P}(A_n)$ converge. Alors :
     \begin{equation}
     \mathbb{P}\left( \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \right) \le \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{proof}
     On se ramène à une suite d'évènements deux à deux disjoints en introduisant la suite $(C_n)$ telle que :
     \begin{equation*}
          C_0 = A_0 \\ C_n = A_n \backslash \bigcup_{k=0}^{n-1}A_k
     \end{equation*}
     Puisque $C_n \subset A_n$, on a : 
     \begin{equation*}
          \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(C_n) \le \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)
     \end{equation*}
\end{proof}
%TODO Évènements négligeables/presque sûrs
\todo{Évènements négligeables / presque sûrs}
% section proprietes_elementaires_des_probabilites (end)
\section{Probabilités conditionnelles et indépendance} % (fold)
\label{sec:independance}
\subsection{Probabilités conditionnelles} % (fold)
\label{sub:probabilites_conditionnelles}
\begin{itheorem}[Probabilité conditionnelle]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P} \big)$ un espace probabilisé. \newline
     Soit $A \in \mathscr{T}$ de probabilité non nulle. \\
     L'application 
     \begin{equation}
     \mathbb{P}_A : \left\lbrace
     \begin{array}{r c l}
          \mathscr{T} &\longto & [0,1] \\
          B &\longmapsto & \dfrac{\mathbb{P} (A\cap B)}{\mathbb{P} (A)}
     \end{array}
     \right.
     \end{equation}
     est une probabilité appellée \emph{probabilité sachant $A$}.
\end{itheorem}
On notera également $\mathbb{P}\big( B | A\big) = \mathbb{P}_A(B)$ pour ``probabilité de $B$ sachant $A$''.
\begin{theorem}[Formule des probabilités composées]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P} \big)$ un espace probabilisé. \newline
     Soit $(A_n)$ une suite d'évènements de $\mathscr{T}$ telle que $\mathbb{P} \Big( \bigcap_{k=1}^n A_k \Big) > 0$. Alors :
     \begin{equation}
     \mathbb{P} \left( \bigcap_{k=1}^n A_k \right) = \mathbb{P}\Bigg(A_n \Bigg| \bigcap_{k=1}^{n-1} A_k \Bigg) \times \mathbb{P}\Bigg(A_{n-1} \Bigg| \bigcap_{k=1}^{n-2} A_k \Bigg) \times \cdots \times \mathbb{P}(A_2|A_1) \times \mathbb{P}(A_1)
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Formule des probabilités totales]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P} \big)$ un espace probabilisé. \newline
     Soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ un \emphhs{système complet} d'évènements de probabilités non nulles. Alors :
     \begin{equation}
     \forall B\in \mathscr{T},\qquad \mathbb{P}(B) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}_{A_n}(B)\, \mathbb{P}(A_n)
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{proof}
     $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est un système complet d'évènements. Ainsi, les évènements $B\cap A_n$ sont deux à deux incompatibles, et $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left( B\cap A_n\right) = B$. Or $\mathbb{P}_{A_n}(B) = \dfrac{\mathbb{P}(A_n\cap B)}{\mathbb{P}(A_n)}$, ainsi : 
     \[
         \mathbb{P}(B) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P} \left( B\cap A_n \right)
                       = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}_{A_n}(B) \mathbb{P}(A_n)
     \]
\end{proof}
\begin{itheorem}[Formule de \textsc{Bayes}]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P} \big)$ un espace probabilisé. \newline
     Soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ un \emphhs{système complet} d'évènements de probabilités non nulles. Alors :
     \begin{equation}
     \forall B\in \mathscr{T},\: \forall i\in \mathbb{N},\qquad \mathbb{P}_B(A_i) = \dfrac{\mathbb{P}_{A_i}(B)\,\mathbb{P}(A_i)}{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}_{A_n} (B)\, \mathbb{P}(A_n)}
     \end{equation}
\end{itheorem}
% subsection probabilites_conditionnelles (end)
\subsection{Indépendance} % (fold)
\label{sub:independance}
\begin{dfn}[Évènements indépendants]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P} \big)$ un espace probabilisé. \newline
     Deux évènements $A$ et $B$ de $\mathscr{T}$ sont dits \emph{indépendants}\index{Evenements@Évènements!independants@indépendants} lorsque 
     \begin{equation}
     \mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)
     \end{equation}
\end{dfn}
On peut généraliser la définition suivante à une famille entière :
\begin{dfn}[Famille quelconque d'évènements mutuellement indépendants]
     Soit $\big( \Omega , \mathscr{T}, \mathbb{P} \big)$ un espace probabilisé. \newline
     Une famille $(A_n)_{n\in I}$  d'évènements de $\mathscr{T}$ est dite \emph{suite d'évènements mutuellements indépendants} lorsque :
     \begin{equation}
     \forall J\subset I,\qquad \mathbb{P} \left( \bigcap_J A_n \right) = \prod_J \mathbb{P} (A_n)
     \end{equation}
\end{dfn}
% subsection independance (end)
% section independance (end)
\section{Variables aléatoires discrètes} % (fold)
\label{sec:variables_aleatoires_discretes}
\begin{dfn}[Variable aléatoire]
     Soit $E$ un ensemble. On appelle \emph{variable aléatoire}\index{Variable aleatoire@Variable aléatoire} discrète une application $X : \Omega \to E$ telle que :
     \begin{itemize}
         \item $X(\Omega )$ est fini ou dénombrable
         \item Pour tout $x \in X(\Omega )$, l'image réciproque de $\lbrace x \rbrace$ par $X$ est un évènement. On notera cet évènement $(X= x)$.
     \end{itemize}
\end{dfn}
Lorsque $E\subset \mathbb{R}$, on dit que la variable aléatoire est réelle.
\begin{dfn}[Loi de probabilité]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète de $\Omega$ dans $E$.\\
     On note $\mathscr{P} \Big( X(\Omega ) \Big)$ l'ensemble des parties de $X(\Omega )$.
     L'application $\mathbb{P}_X (\Omega )$ : 
     \begin{equation}
      \mathbb{P}_X : \left\lbrace
      \begin{array}{r c l}
           \mathscr{P} \Big( X(\Omega ) \Big) &\longto & [0,1] \\
           A & \longmapsto & \mathbb{P} (X\in A)
      \end{array} \right.
      \end{equation}
\end{dfn}
% section variables_aleatoires_discretes (end)
\section[Couples de variables aléatoires]{Couples de variables aléatoires, variables aléatoires indépendantes} % (fold)
\label{sec:couples_de_variables_aleatoires}
% TODO: Couples de proba
\subsection{Couple de variables aléatoires} % (fold)
\label{sub:couple_de_variables_aleatoires}
\begin{dfn}[Loi conjointe]
     Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires discrètes. \\
     On appelle \emph{loi conjointe}\index{Loi!conjointe} de $X_1$ et $X_2$ la loi $X=(X_1,X_2)$ déterminée par :
     \begin{itemize}
         \item $X(\Omega ) = \bigg\lbrace \Big(x_1\in X_1(\Omega ), x_2\in X_2(\Omega )\Big)\bigg\rbrace = X_1(\Omega )\times X_2(\Omega )$
         \item $\mathbb{P}_X(x_1,x_2) = \mathbb{P}_X\bigg(\Big( x_1 = X_1(\Omega ) \cap x_2 = X_2(\Omega )\Big)\bigg)$
     \end{itemize}
\end{dfn}
À partir de deux variables $X_1$ et $X_2$, on peut déterminer une troisième variable $(X_1,X_2)$ et sa loi. Les lois marginales vont nous permettre de faire l'inverse :
\begin{theorem}[Lois marginales]
     \index{Loi!marginale}Soit $X = (X_1 , X_2)$ un couple de variables aléatoires discrètes.\\
     On note $X(\Omega ) = \Big\lbrace (x_1, x_2)\, |\, i\in I,\, j\in J \Big\rbrace$ \\
     On peut déterminer la loi de $X_1$ ou de $X_2$ à partir de la loi $\mathbb{P}_X$ de la manière suivante : 
     \begin{equation}
     X_1(\Omega ) = \lbrace x_i ,\, i\in I\rbrace \\ \mathbb{P}_{X_1}(x_1) = \sum_{j\in J} \mathbb{P}(X = (x_i, x_j)) 
     \end{equation}
     \begin{equation}
     X_2(\Omega ) = \lbrace x_j ,\, j\in J\rbrace \\ \mathbb{P}_{X_2}(x_2) = \sum_{i\in I} \mathbb{P}(X = (x_i, x_j)) 
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection couple_de_variables_aleatoires (end)
\subsection{Variables aléatoires indépendantes} % (fold)
 \label{sub:variables_aleatoires_independantes}
 \begin{dfn}[Suite finie de variables aléatoires indépendantes]
      Soient $n$ variables aléatoires discrètes $X_1,\ldots, X_n$.\\ 
      On dit qu'elles sont \emph{indépendantes}\index{Variable aleatoire@Variable aléatoire!independante@indépendante} si pour tous $x_1\in X_1(\Omega),\ldots,x_n\in X_n(\Omega)$, les évènements $(X_1 = x_1),\ldots ,(X_n = x_n)$ sont indépendants. 
 \end{dfn}
 \begin{dfn}[Suite de variables aléatoires indépendantes]
      Soit $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite. On dit qu'elles sont \emph{indépendantes}\index{Variable aleatoire@Variable aléatoire!independante@indépendante} si pour tout sous-ensemble $I$ de $\mathbb{N}$ la famille finie $(X_n)_{n\in I}$ est indépendante. 
 \end{dfn}
 \begin{theorem}
      Si $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors pour tout $m \in [1, n-1 ]$ et pour toutes fonctions $g$ et $g$, les variables $f(X_1,\ldots ,X_n)$ et $g(X_1,\ldots ,X_n)$ sont indépendantes.
 \end{theorem}
 % subsection variables_aleatoires_independantes (end) 
% section couples_de_variables_aleatoires (end)
\section{Lois usuelles} % (fold)
\label{sec:lois_usuelles}
\begin{dfn}[Loi de \textsc{Bernoulli}]
     La \emph{loi de \textsc{Bernoulli}}\index{Loi!Bernoulli@\emphi{de} \textsc{Bernoulli}} est une distribution discrète qui prend la valeur $1$ avec une probabilité $p$ et la valeur $0$ avec la probabilité $(1-p)$. \\
     Une variable aléatoire qui suit cette loi est appelée variable de \textsc{Bernoulli}
\end{dfn}
\subsection{Loi binomiale} % (fold)
\label{sub:loi_binomiale}
% On va avoir besoin de la variance et de l'espérance, cf. section suivante
\begin{dfn}
     Une \emph{loi binomiale}\index{Loi!binomiale} de paramètres $n$ et $p$ est la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès rencontrés au cours d'une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli, $p$ étant la probabilité de succès d'une épreuve de Bernoulli.\par
     Autrement, c'est une variable aléatoire $X$ telle que 
     \[
         X = Y_1 + Y_1 + \cdots + Y_n
     \]
     où les $Y_i$ sont des variables aléatoires \emphhs{indépendantes} de loi de \textsc{Bernoulli}.\par
     La variable aléatoire suit une loi de probabilité : 
     \begin{equation}
     \mathbb{P}(X = k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Espérance et variance]
     Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $p$ et $n$. Alors :
     \begin{equation}
     E(X) = np \\ V(X) = np(1-p)
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection loi_binomiale (end)
\subsection{Loi géométrique}
\label{sub:loi_geometrique}
\begin{dfn}
     Une \emph{loi géométrique}\index{Loi!geometrique@géométrique} de paramètre $p \in ]0, 1[$ est la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ égale au rang $k$ du premier succès dans une suite d'épreuves de \textsc{Bernoulli} mutuellement indépendantes de paramètres $p$.\par
     Une telle loi vérifie $X(\Omega ) = \mathbb{N}$ et :
     \begin{equation}
     \forall k> 0,\qquad \mathbb{P}_X(k) = p (1-p)^{k-1}
     \end{equation}
     Une loi géométrique se note $\mathscr{G}(p)$.
\end{dfn}
\begin{theorem}[Espérance et variance]
     Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre $p$. Alors : 
     \begin{equation}
     E(X) = \dfrac{1}{p} \\ V(X) = \dfrac{1-p}{p^2}
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{itheorem}[Caractérisation comme loi sans mémoire]
     La loi géométrique est la seule loi de probabilité discrète à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ vérifiant : 
     \begin{equation}
     \mathbb{P}\Big( X > (n+k) \Big| X > n \Big) = \mathbb{P} \big( X > k \big)
     \end{equation}
     pour tous entiers $n$ et $m$.
\end{itheorem}
% subsection loi_geometrique (end)
\subsection{Loi de \textsc{Poisson}} % (fold)
\label{sub:loi_de_poisson}
\begin{dfn}[Loi de \textsc{Poisson}]
     On dit d'une variable aléatoire $X$ que c'est une \emph{loi de \textsc{Poisson}}\index{Loi!Poisson@\emphi{de} \textsc{Poisson}} de paramètre $\lambda >0$ lorsque $X( \Omega ) = \mathbb{N}$ et :
     \begin{equation}
     \mathbb{P}_X (k) = e^{-\lambda}\, \dfrac{\lambda^k}{k !}
     \end{equation}
     Une telle loi se note $\mathscr{P}(\lambda )$.
\end{dfn}
\begin{theorem}[Espérance et variance]
     Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de \textsc{Poisson} de paramètre $\lambda > 0$. Alors :
     \begin{equation}
     E(X) = \lambda \\ V(X) = \lambda
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Approximation de la loi binomiale par une loi de \textsc{Poisson}]
     Si, pour tout $n$, $X_n$ est une loi binomiale de paramètre $n$, $p_n$, et si le produit $n\cdot p_n$ converge vers $\lambda$, alors :
     \begin{equation}
     \mathbb{P}(X_n = k) \xrightarrow[n\to+\infty]{} e^{-\lambda}\, \dfrac{\lambda^k}{k!}
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{prop}
     Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de \textsc{Poisson} de paramètres $\lambda$ et $\mu$, alors la loi $X+Y$ suit une loi de poisson de paramètre $\lambda + \mu$.
\end{prop}
% subsection loi_de_poisson (end)
% section lois_usuelles (end)
\section{Espérance} % (fold)
\label{sec:esperance}
\subsection{Définitions} % (fold)
\label{sub:esperance_definitions}
\begin{subequations}
\begin{dfn}[Espérance d'une famille finie]
     Soit $X$ une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs $x_1, x_2, \ldots , x_n$. L'\emph{espérance}\index{Esperance@Espérance} de $X$ est donnée par la somme finie :
     \begin{equation}
     E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}_X(x_i)
     \end{equation}
\end{dfn}
\textbf{Remarque :} On assimile souvent l'espérance à la moyenne, car puisque la somme des probabilités est $1$, on peut très bien écrire que : 
\begin{equation}
    E(X) = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}_X(x_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \mathbb{P}_X(x_i)}
\end{equation}
\end{subequations}
Si $X$ ne prend pas un nombre fini de valeurs, on peut étendre la définition précédente au cas où les valeurs de $X$ forment une famille sommable :
\begin{dfn}[Espérance d'une variable aléatoire discrète]
     Soit $X$ une variable aléatoire \emphh{réelle discrète}. On dit que $X$ est d'\emph{espérance finie} si la famille $\Big( x\mathbb{P}_X(x)\Big)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable. \\
     La somme est appellée \emph{espérance de $X$}.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Variable centrée]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance finie. \par
     La variable aléatoire $X - E(X)$ est appelée \emph{variable centrée associée}\index{Variable centree associee@Variable centrée associée} à $X$. \\
     Son espérance $E\big( X - E(X) \big)$ est nulle.
\end{dfn}
% subsection esperance_definitions (end)
\subsection{Propriétés de l'espérance} % (fold)
\label{sub:esperance_proprietes}
\begin{prop}
     \begin{itemize}
         \item L'ensemble $\mathscr{E}$ des variables aléatoire de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ et dont l'espérance est finie est un espace vectoriel
         \item L'espérance est une forme linéaire sur $\mathscr{E}$
         \item $\forall X \in \mathscr{E},\, X(\Omega) \subset \mathbb{R}^+ \implies E(X) \ge 0$ (l'espérance est positive)
         \item L'espérance est croissante : $\forall (X,Y)\in \Omega^2,\: X \le Y \implies E(X) \le E(Y)$
         \item Soit $Y$ une variable aléatoire d'espérance finie, si $X$ est une variable aléatoire telle que $|X| \le Y$, alors $X$ est d'espérance finie.
         \item Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires \emphh{indépendantes} \emphh{et admettant chacune une espérance finie}, alors $XY$ est d'espérance finie et 
         \begin{equation*}
         E(XY) = E(X)\: E(Y)
         \end{equation*}
         Par récurrence, on vérifie que pour $n$ variables aléatoires $X_1,\ldots, X_n$ mutuellement indépendantes : 
         \begin{equation*}
              E \left( \prod_i X_i \right)  = \prod_i E(X_i)
         \end{equation*}
     \end{itemize}
\end{prop}
\begin{itheorem}[Formule de transfert]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète.\newline
     Soit $f : X(\Omega ) \longto \Reel{}$.\newline
     La variable aléatoire $f(X)$ est d'espérance finie \ssi{} la famille $\Big( f(x) \cdot P(X = x) \Big)$ est sommable. Si tel est le cas : 
     \begin{equation}
     E\big( f(X) \big) = \sum_{x\in X(\Omega)} f(x)\, \mathbb{P}(X=x)
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Inégalité de \textsc{Markov}]\label{thm:markov}
     Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrète \emphhs{positive} admettant une espérance finie. Alors, pour tout $a > 0$, l'\emph{inégalite de \textsc{Markov}}\index{Inegalite@Inégalité!markov@\emphi{de } \textsc{Markov}} nous donne : 
     \begin{equation}\label{eq:markov}
     \mathbb{P}(X\ge a) \le \dfrac{E(X)}{a}
     \end{equation}
\end{itheorem}
% subsection esperance_proprietes (end)
% section esperance (end)
\section{Variance} % (fold)
\label{sec:variance}
\subsection{Moment} % (fold)
\label{sub:variance_moment}
\needspace{5cm}
\begin{dfn}[Moment d'ordre $n$]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète. On dit que $X$ admet un \emph{moment}\index{Moment@Moment\emphi{ (Probabilités)}} d'ordre $m$ si $X^m$ admet \emphh{une espérance finie}.
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Si $X$ est une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$, alors $X$ admet une espérance finie.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Inégalité de \textsc{Cauchy-Schwarz}\index{inegalite@Inégalité!cauchy@de \textsc{Cauchy-Schwarz}}]
     Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes de moment d'ordre $2$, alors $XY$ a une espérance finie et
     \begin{equation}
     \bigg( E(XY)\bigg)^2 \le E(X^2)\,E(Y^2)
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Espace vectoriel]
     L'ensemble des variables aléatoires définies sur $\Omega$ admettant un moment d'ordre $2$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des variables aléatoires réelles discrètes définies sur $\Omega$ et d'espérance finie.
\end{theorem}
% subsection variance_moment (end)
\subsection{Variance et écart-type} % (fold)
\label{sub:variance_et_ecart_type}
On relarquera que dans cette sous-section, on fera tout le temps l'hypothèse d'une variable aléatoire $X$ admettant un moment d'ordre 2, c'est-à-dire telle que $X^2$ admette une espérance finie.
\begin{dfn}[Variance et Écart-type]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète \emphh{admettant un moment d'ordre 2}.\par
     On définit la \emph{variance}\index{Variance} par :
     \begin{subequations}
     \begin{equation}
          V(X) = E\bigg( \big( X - E(X) \big)^2 \bigg)
     \end{equation}
     et l'\emph{écart-type}\index{ecart-type@Écart-type} par :
     \begin{equation}
     \sigma (X) = \sqrt{ V(X) }
     \end{equation}
     \end{subequations}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Formule de \textsc{König-Huygens}]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète \emphhs{admettant un moment d'ordre $2$}. Alors :
     \begin{equation}
     V(X) = E(X^2) - E(X)^2
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Soit $X$ une variable aléatoire \emphhs{admettant un moment d'ordre $2$}. Alors pour tous réels $a$ et $b$ : 
     \begin{equation}
     V(aX + B) = a^2 V(X) 
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{dfn}[Variables réduites]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète \emphh{admettant un moment d'ordre 2} et telle que $\sigma (X) > 0$.\par
     La variable aléatoire $\dfrac{X}{\sigma (X)}$ est appelée \emph{variable réduite}\index{Variable reduite@Variable réduite} associée à $X$. \\
     Son écart-type est égal à $1$.\par
     La variable aléatoire $\dfrac{X - E(X)}{\sigma (X)}$ est appelée \emph{variable centrée réduite}\index{Variable centree reduite@Variable centrée réduite} associée à $X$.\\
     Son espérance est nulle et son écart-type est égal à $1$.
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Inégalité de \textsc{Bienaymé}-\textsc{Tchebychev}]
     Soit $X$ une variable aléatoire discrète \emphh{admettant un moment d'ordre 2}. Alors : 
     \begin{equation}
     \forall \epsilon > 0,\qquad \mathbb{P}\Big( \big| X - E(X) \big| \ge \epsilon \Big) \le \dfrac{V(X)}{\epsilon^2}
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{proof}
     On applique le théorème~\ref{thm:markov} de \textsc{Markov} page~\pageref{thm:markov} à la variable aléatoire $Y= (X - E(X))^2$ : 
     \begin{equation*}
          \forall \epsilon> 0, \quad \mathbb{P}\Big( \big| X - E(X) \big| \ge \epsilon \Big)=\mathbb{P}(Y^2 \ge \epsilon^2)\le \dfrac{E\big( (X-E(X))^2\big)}{\epsilon^2} = \dfrac{V(X)}{\epsilon^2}
     \end{equation*}
\end{proof}
Ce dernier théorème permet de majorer la probabilité que $X$ prenne une valeur dont la distance à $E(X)$ (c'est-à-dire à la moyenne) serait supérieure à $\epsilon$.
% subsection variance_et_ecart_type (end)
\subsection{Covariance} % (fold)
\label{sub:covariance}
\begin{dfn}[Covariance]
     Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes \emphh{admettant une espérance finie}.\par
     Si elle existe, on définit la \emph{covariance}\index{Covariance} de $X$ et de $Y$ par :
     \begin{equation}
     \mathrm{cov}(X,Y) = E\bigg( \big( X - E(X)\big) \: \big( Y - E(Y)\big) \bigg)
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Existence de la covariance]
     Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires \emphh{admettant un moment d'ordre 2}. Alors la covariance de $X$ et de $Y$ existe et on a :
     \begin{equation}
     \mathrm{cov}(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)
     \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{proof}
     $X$ et $Y$ étant des variables aléatoires d'ordre 2, elles admettent une espérance finie. \\
     De plus, on a : 
     \begin{align*}
         \mathrm{cov}(X,Y) &= E\bigg( \big( X - E(X)\big) \: \big( Y - E(Y)\big) \bigg)
         \intertext{On développe :}
                           &= E\bigg( XY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y) \bigg)
                           \intertext{Par linéarité de l'espérance : }
                           &= E\big( XY \big) - E\big( E(X)Y \big) - E\big( E(Y)X \big) + E\big( E(X)E(Y) \big) \\
                           &= E\big( XY \big) - E(X)E(Y) - \cancel{E(Y)E(X)} +  \cancel{E(X)E(Y)} \\
         \mathrm{cov}(X,Y) &= E(XY) - E(X)E(Y)
     \end{align*}
\end{proof}
Du théorème précédent, on déduit le théorème suivant : 
\begin{theorem}[Covariance de variables aléatoires indépendantes]
     Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires \emphhs{indépendantes} admettant un moment d'ordre 2, alors $\mathrm{cov}(X,Y) = 0$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
     Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discrètes \emphh{admettant un moment d'ordre 2}. Alors :
     \begin{itemize}
         \item $X+Y$ a un moment d'ordre $2$ et $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{cov}(X,Y)$ ;
         \item si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.
     \end{itemize}
\end{theorem}
Par récurrence, on en déduit le théorème suivant :
\begin{itheorem}[Variance d'une somme finie]
     Soit $X_1, \ldots , X_n$ $n$ variables aléatoires réelles discrètes admettant toutes des moment d'ordre $2$. Alors : 
     \begin{subequations}
     \begin{itemize}[leftmargin=5.5mm]
         \item la variable aléatoire $X_1 + \cdots + X_n$ a un moment d'ordre $2$ et : 
         \begin{equation}
         V \bigg( \sum_{k=1}^n X_k\bigg) = \sum_{k=1}^n V\big( X_k\big)  + \sum_{1\le i\le j\le n} \mathrm{cov}(X_i,X_j)
         \end{equation}
         \item si les variables $X_1, \ldots , X_n$ sont indépendantes : 
         \begin{equation}
              V \bigg( \sum_{k=1}^n X_k\bigg) = \sum_{k=1}^n V\big( X_k\big) 
         \end{equation}
     \end{itemize}
     \end{subequations}
\end{itheorem}
% subsection covariance (end)
% section variance (end)
\section{Loi faible des grands nombres} % (fold)
\label{sec:loi_faible_des_grands_nombres}
% Une section entière pour un théorème seul... OK :) 
\begin{itheorem}[Loi faible des grands nombres]
     Si $(X_n)_n$ est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, de même loi et admettant un moment d'ordre $2$, alors, si $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $m = E(X_1)$, on a : 
     \begin{subequations}
     \begin{equation}
     \forall \varepsilon >0,\quad \mathbb{P} \left( \left| \dfrac{S_n}{n} - m \right| \ge \epsilon \right) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0 
     \end{equation}
     Pour avoir la formule en tête de manière plus visuelle, même si c'est plus lourd : 
     \begin{equation}
     \forall \varepsilon >0,\quad \mathbb{P} \left( \left| \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n X_k}{n} - E(X_1) \right| \ge \epsilon \right) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0 
     \end{equation}
     \end{subequations}
\end{itheorem}
%todo: Formule citée par le programme
\todo{Formule citée par le programme}
% section loi_faible_des_grands_nombres (end)
\section{Fonctions génératrices} % (fold)
\label{sec:fonctions_generatrices}
%TODO: rajouter le theoreme du transfert! 
\begin{dfn}[Fonction génératrice] % Grosse copie depuis le livre de Vuibert p640
     Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. On définit la \emph{fonction génératrice}\index{Fonction génératrice} $G_X$ de $X$ par : 
     \begin{equation}
     G_X (t) = E(t^X) = \sum_k \mathbb{P} (X=k) t^k
     \end{equation}
     pour les valeurs de $t$ telles que la variable aléatoire $t^X$ admette une espérance finie.
\end{dfn}
\begin{theorem}[Détermination de la loi de $X$]
% Totalement pris de Vuibert
     Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$.
     \begin{itemize}[leftmargin=5.5mm]
         \item La série entière $G_X$ est de rayon $R \ge 1$ et converge normalement sur le disque fermé de centre 0 et de rayon $1$ ; 
         \item Soit $k\in \mathbb{N}$, alors : 
         \begin{equation}
         \mathbb{P}(X=k) = \dfrac{G_X^{(k)}(0)}{k!}
         \end{equation}
         \item Si $R > 1$, alors $X$ admet un moment d'ordre $k$ quelconque dans $\mathbb{N}^*$ et :
         \begin{subequations}
         \begin{align}
         G_X'(1) &= E(X) \\ G_X''(1) &= E\big( X(X-1)\big) \\ G_X^{(k)}(1) &= E\Big( X(X-1)\cdots (X-k+1)\Big)
         \end{align}
         \end{subequations}
         Dans ce cas, $V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'^2(1)$.
     \end{itemize}
\end{theorem}
La dernière partie de ce théorème peut se généraliser même si $R\ge 1$ :
\begin{itheorem}
     Soit $X$ une variable aléatoire.
     \begin{itemize}[leftmargin=5.5mm]
         \item $X$ admet une espérance finie \ssi{} $G_X$ est dérivable à gauche en $1$ ; dans ce cas $E(X) = G_X'(1)$.
         \item $X$ admet un second moment \ssi{} $G_X$ est deux fois dérivable à gauche en $1$ ; dans ce cas $G_X''(1) = E\big( X(X-1) \big)$ et $V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'^2(1)$.
     \end{itemize}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Somme de variables aléatoires indépendantes]
     Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $N$ et indépendantes, alors :
     \begin{equation}
     \boxed{\forall t\in ]-1,1[}\qquad G_{X+Y}(t) = G_X(t)\, G_Y(t)
     \end{equation}
     On peut généraliser à $n$ variables aléatoires $X_1,\ldots ,X_n$ mutuellement indépendantes : 
     \begin{equation}
     \boxed{\forall t\in ]-1,1[}\qquad G_{\sum X_k}(t) = \prod G_{X_k}(t)
     \end{equation}
\end{itheorem}
% section fonctions_generatrices (end)
% chapter variables_aleatoires_discretes (end)
\part{Équations Différentielles}
\chapter{Équations Différentielles Linéaires}
\begin{methode}
\titre{Résoudre une équation différentielle}
\begin{description}
    \item[Scalaire du 1\ier{} ordre]
                Méthode algorithmique, \textit{cf.} preuve \ref{ResolEquDiffScal1} page \pageref{ResolEquDiffScal1}
    \item[Vectorielles du 1\ier{} ordre] \hfill
    \begin{itemize}\itemsep2pt %TODO Terminer la méthode
                    \item Avec les coefficients constants
                    \item Avec une matrice Diagonalisable
                    \item Avec une matrice Trigonalisable
    \end{itemize}

    \item[Scalaire du second ordre]
\end{description}

\end{methode}
Dans ce chapitre, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$, et $E$ est un $\mathbb{K}$-espace~vectoriel \emphhs{de dimension finie} $n$.
\section{Généralités} % (fold)
\label{sec:ED_generalites}
\subsection{Équation différentielle linéaire} % (fold)
\label{sub:equa_diff_lineaire}

\begin{dfn}[Équation différentielle linéaire d'ordre $1$]
     On appelle \emph{équation différentielle d'ordre $1$}\index{equation differentielle@Équation différentielle} l'équation~\eqref{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1} :
     \begin{equation}\tag{\ensuremath{\mathcal{L}}}\label{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1}
     x' = a(t)(x) +b(t)
     \end{equation}
     avec $a\in \mathcal{C}\big( I,\mathscr{L}(E)\big)$ et $b\in \mathcal{C}\big( I,E\big)$.\\
     L'application $x : I\to E$, dérivable, est \emph{solution} de l'équation~\eqref{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1} si : 
     \begin{equation}
     \forall t\in I,\qquad x'(t) = a(t)\Big( x(t)\Big) +b(t)
     \end{equation}
\end{dfn}
\Attention{
$a$ est une application de $I$ dans \uline{$\mathscr{L}(F)$}. Donc $a(t)$ est une application linéaire, pas un scalaire}
%
\begin{dfn}[Forme matricielle]
     En choissisant une base de $E$, l'équation peut s'écrire matriciellement :
     \begin{equation}
     X'(t)=A(t)X(t)+B(t)
     \end{equation}
     avec $A\in \mathcal{C}\Big( I,M_n (\mathbb{R})\Big) $ et $B \in \mathcal{C}\big( I,\mathbb{R}^n\big) $
\end{dfn}
\begin{dfn}[Équation homogène associée]
     On appelle \emph{équation homogène}\index{equation homogene@Équation homogène} associée à l'équation~différentielle~\eqref{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1} l'équation : 
     \begin{equation}\tag{\ensuremath{\mathcal{H}}}\label{eq:equa_diff_homogene_ordre_1}
     x'=a(t)(x)
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Principe de superposition]
     \begin{tabbing}
          Si \=$x_1$ est solution de \=$x'=a(t)~x+b_1(t)$\\
          et \>$x_2$ \rule{6em}{0.4pt} \>$x'=a(t)~x+b_2(t)$
     \end{tabbing}
     alors $x_1+x_2$ est solution de 
     \begin{equation}
     x' = a(t)(x) + b_1(t) + b_2(t)
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection equa_diff_lineaire (end)
\subsection{Problème de \textsc{Cauchy}} % (fold)
\label{sub:probleme_de_cauchy}
\begin{dfn}[Problème de \textsc{Cauchy}]
     On appelle \emph{problème de \textsc{Cauchy}}\index{Probleme de cauchy@Problème de \textsc{Cauchy}} pour l'équation différentielle~\eqref{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1} l'ensemble constitué par \eqref{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1} et un couple $(t_0,x_0)$ formant une condition initiale :
     \begin{equation}\label{eq:probleme_cauchy}
     \left\lbrace
     \begin{array}{rcl@{\qquad}c}
          x'(t) &=& a(t)\big( x(t)\big) +b(t)  &\eqref{eq:equa_diff_lineaire_ordre_1}\\
          x(t_0) &=& x_0                       &\text{(Condition initiale)}
     \end{array}
     \right.
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Mise sous forme intégrale]
     $x\in \mathcal{C}(I,F)$ est \emphh{solution du problème~de~\textsc{Cauchy}}~\eqref{eq:probleme_cauchy} \ssi{} :
     \begin{equation}
     x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t \Big( a(u)\big(x(u)\big) + b(u)\Big) \d u
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection probleme_de_cauchy (end)
\subsection{Équation scalaire linéaire d'ordre $n$} % (fold)
\label{sub:equation_scalaire_lineaire_d_ordre_n}
\begin{dfn}[Équation scalaire linéaire]
     Avec les notations précédentes, une équation de la forme
     \begin{equation}
     x' = a(t)x + b(t)
     \end{equation}
     est scalaire si $n=\dim E = 1$.
\end{dfn}
\begin{dfn}[Équation différentielle linéaire d'ordre $n$]
On appelle \emph{équation différentielle d'ordre $n$}\index{equation differentielle@Équation Différentielle} l'équation~\eqref{eq:ED_lineaire_ordre_n} :
\begin{equation}\tag{\ensuremath{\mathscr{L}}}\label{eq:ED_lineaire_ordre_n}
a_0(t)y^{(n)}+a_1(t) y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(t) y' + a_n(t) y = b(t)
\end{equation}
$\left( \vphantom{3^3} a_0,\cdots ,a_n \right)$ est dans $\Big( \mathcal{C}(I,\Reel{})\Big)^{n+1} $. \\
Cette équation est équivalente à un système différentiel linéaire de la forme 
    $$ X'(t) = A(t)X(t) + B(t) $$ 
avec $A\in \mathcal{C}\Big( I,M_n (\mathbb{R})\Big) $ et $B \in \mathcal{C}\big( I,\mathbb{R}^n\big) $
\end{dfn}
% subsection equation_scalaire_lineaire_d_ordre_n (end)
% section ED_generalites (end)
\section{Solutions d'une équation différentielle linéaire} % (fold)
\label{sec:solutions_d_une_equation_differentielle_lineaire}
\subsection{Théorème de \textsc{Cauchy}} % (fold)
\label{sub:theoreme_de_Cauchy}
\begin{itheorem}[Théorème de \textsc{Cauchy-Lipshitz}\index{Cauchy-Lipshitz@\textsc{Cauchy-Lipshitz}} linéaire]\label{th:CauchyLipschitz}
Soit l'équation différentielle 
\begin{equation}\tag{$E$}
 x'(t) = a(t) x(t) + b(t)
\end{equation}
où $a \in \mathcal{C}\left( I,\mathscr{L}(F)\right)$, $b\in \mathcal{C}(I,F)$, alors
\begin{equation}
    \forall (t_0,x_0) \in (I,F), \exists ! \: \varphi \text{ telle que }
    \left|
    \begin{array}{l}
        \varphi \text{ soit solution de l'équation }(E)\\
        \varphi(t_0)=x_0
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
\end{itheorem}
% subsection theoreme_de_Cauchy (end)
\subsection{Système fondamental de solutions} % (fold)
\label{sub:systeme_fondamental_de_solutions}
\begin{dfn}[Système Fondamental]
Un \emph{système fondamental} de solutions\index{systeme@Système!fondamental de solution@fondamental de solutions} est une base dans l'espace $S_I(\textcolor{Red}{\mathcal{H}})$ des solutions.
\end{dfn}
%
\begin{prop}
    \begin{itemize}
        \item Si $(\varphi_1, \varphi_2, \cdots , \varphi_n)$ est une base de $S_I(\mathscr{L})$, alors, $\forall t \in I$, $\left( \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) \right)
$ est une base dans $ F$
    \end{itemize}
\end{prop}
%
\begin{dfn}[Wronskien]
Le Wronskien\index{Wronskien} est le déterminant d'un système fondamental de solution. 
\begin{equation}\label{Wronskien}\tag{Wronskien}
  W(t) = \det_\mathcal{B}\left( \vphantom{{3^3}^3} \varphi_1(t),\cdots , \varphi_n(t) \right)
\end{equation}
\end{dfn}

\Attention{Le Wronskien est une fonction de $t$}

\begin{prop}
\begin{itemize}
    \item $W'(t)=\tr (a)\; W(t)$
    \item $ W(t) = W(t_0) \; e^{\int_{t_0}^t \tr (s) \; ds}$
    \item $(x_1, \ldots ,x_n)$ est un système fondamental de solutions $\Longleftrightarrow$ $\forall t\in I,\: W(t) \neq 0$
    \item $(x_1, \ldots ,x_n)$ est un système fondamental de solutions $\Longleftrightarrow$ $\exists t_0\in I,\: W(t_0) \neq 0$
\end{itemize}
\end{prop}
% subsection systeme_fondamental_de_solutions (end)
\todo{Cas des équations d'ordre $n$}
% TODO: Cas des équations d'ordre $n$
% section solutions_d_une_equation_differentielle_lineaire (end)
\section{Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice} % (fold)
\label{sec:exponentielle_d_un_endomorphisme_d_une_matrice}
\begin{dfn}[Exponentielle d'un endomorphisme]
     La fonction exponentielle peut s'appliquer à des endomorphismes : 
     \begin{equation}
     \exp : a \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^n}{n !}
     \end{equation}
     
\end{dfn}
\begin{dfn}[Exponentielle d'une matrice]
     La fonction exponentielle peut s'appliquer à des matrices : 
     \begin{equation}
     \exp : A \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{A^n}{n !}
     \end{equation}
     
\end{dfn}
\begin{theorem}
     Si $a$ et $b$ sont deux endomorphismes \emphhs{qui commutent}, alors : 
     \begin{subequations}
            \begin{equation}
            \exp (a + b) = \exp (a) \circ \exp (b)
            \end{equation}
     De même, si $A$ et $B$ sont deux matrices qui commutent : 
            \begin{equation}
            \exp (A + B) = \exp (A) \circ \exp (B)
            \end{equation}
     \end{subequations}
\end{theorem}
\Attention{L'hypothèse de commutation est extrèmement importante !}
\needspace{5cm}
\begin{theorem}[Dérivation]
     Soit $a$ un endomoprhisme d'un espace normé de dimension finie. \\
     L'application $e_a : t \mapsto \exp (ta)$ est dérivable, avec : 
     \begin{equation}
     e_a' = a\circ e_a = e_a \circ a
     \end{equation}
     Ce théorème s'applique également à une matrice.
\end{theorem}
% section exponentielle_d_un_endomorphisme_d_une_matrice (end)
\section{Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants} % (fold)
\label{sec:systemes_differentiels_lineaires_homogenes_coefficients_constants}
\begin{dfn}[Équation homogène à coefficients constants]
    On dit d'une équation homogène \eqref{eq:equa_diff_homogene_ordre_1}~:~$x' = a(t)(x)$ qu'elle est à \emph{coefficients constants} si $a$ est indépendant de $t$, c'est-à-dire que l'équation est telle que : 
    \begin{equation}
    \forall t\in \Reel{},\qquad x'(t) = a\big( x (t) \big)
    \end{equation}
\end{dfn}
\begin{theorem}[Solution]
     Avec les notations précédentes, la fonction $x$ définie par : 
     \begin{equation}
     \forall x_0\in E,\qquad x(t) = e^{(t-t_0) a} x_0
     \end{equation}
     est l'unique solution du problème de \textsc{Cauchy} $\Big( x' = a(x) ;x(t_0) = x_0 \Big)$.
\end{theorem}
%todo Traduction matricielle
\todo{Traduction matricielle}
% section systemes_differentiels_lineaires_homogenes_coefficients_constants (end)
\section{Méthode de variation des constantes} % (fold)
\label{sec:methode_de_variation_des_constantes}
\begin{itheorem}[Variation des constantes]
    \index{constante@\emphi{Variation des} Constantes}
    Soit $\left( \vphantom{{3^3}^3} \varphi_1(t),\cdots , \varphi_n(t) \right)$ une base de $S_I(\textcolor{Red}{\mathcal{H}})$. \\
    Alors, $\forall \varphi \in \mathcal{C}^{\textcolor{Red}{1}} (I,F),$ :
    \begin{equation} 
    \left\lbrace 
    \begin{array}{l}
        \text{Il existe une \uline{unique} famille } \overbrace{\left( \lambda_1, \cdots , \lambda_n \right)}^{\mathcal{\text{dans }\mathcal{C}^{\textcolor{Red}{1}}} (I,F)} \text{ telle que } \varphi = \sum_{i=1}^n \lambda_i \, \varphi_i \\
        \varphi \in S_I(\mathcal{H}) \Leftrightarrow \boxed{\forall t \in I, \sum_{i=1}^n \lambda_i'(t) \, \varphi_i(t) = b(t)}
    \end{array}
    \right.
    \end{equation}
\end{itheorem}
Pour une équation à coefficients $a$ et $b$ constants $x' = ax + b(t)$, la solution générale est 
\begin{empheq}[box=\ibox]{equation}
y(t) = e^{(t-t_0)a}x_0 + \int \limits_{t_0}^t e^{(t-s)a}b(s) \: ds
\end{empheq}
\todo{Variation des constantes $\times$ coefficients constants}
% section methode_de_variation_des_constantes (end)
\section{Équations différentielles scalaires du second ordre} % (fold)
\label{sec:equations_differentielles_scalaires_du_second_ordre}
\begin{itheorem}[Méthode de variation des constantes]
    En connaissant $(u,v)$ un système fondamental de solutions, on cherche une solution de la forme $y(t) = c_1(t) u(t) + c_2(t) u(t)$. On détermine $c_1$ et $c_2$ avec :
    \begin{equation}
    c_1'\begin{pmatrix} u \\ u' \end{pmatrix} + c_2'\begin{pmatrix} v \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \gamma \end{pmatrix}
    \end{equation}
\end{itheorem}
\begin{itheorem}[Théorème de \textsc{Cauchy-Lipshitz}\index{Cauchy-Lipshitz@\textsc{Cauchy-Lipshitz}} linéaire]
Soit l'équation différentielle 
\begin{equation}\tag{$\mathscr{L}$}
    y''(t) + a(t) y'(t) + a(t)y(t)= \gamma (t)
\end{equation}
où $a \in \mathcal{C}\left( I,\mathscr{L}(F)\right)$, $b\in \mathcal{C}(I,F)$, alors
\[
    \forall \big( t_0,(x_0,x_0') \big) \in (I,\mathbb{K}^2), \exists ! \: \varphi \text{ telle que }
    \left|
    \begin{array}{l}
        \varphi \text{ soit solution de l'équation }(E)\\
        \varphi(t_0)=x_0 \\
        \varphi'(t_0) = x'_0
    \end{array}
    \right.
\]
\end{itheorem}
\begin{proof} \hfill \\
    Le théorème est une conséquence du théorème~\ref{th:CauchyLipschitz} si on résout plutôt $\begin{pmatrix} x \\ x' \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} a \\ a' \end{pmatrix}(t)\begin{pmatrix} x \\ x' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b \\ b' \end{pmatrix}$ 
\end{proof}
\begin{dfn}[Wronskien]
    Si $u$ et $v$ sont des $I$-solutions, le \emph{Wronskien}\index{Wronskien} est l'application définie par
    \begin{equation}
    W = uv' - u'v \tag{Wronskien}
    \end{equation}
\end{dfn}
\begin{prop}
Dans l'équation $(\mathcal{H}) : x'' + a(t)x' + b(t) x =0$,
\begin{itemize}
    \item $W + a W = 0$
    \item $(u,v)\text{ libre }\Leftrightarrow \exists t_0 \text{ tel que } W(t_0) \neq 0 \Leftrightarrow \forall t, W(t) \neq 0$
\end{itemize}
\end{prop}
% section equations_differentielles_scalaires_du_second_ordre (end)
%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%% Equations Différentielles %%%%% -> OLD <- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%
\section{Équations Différentielles \emph{Scalaires} d'ordre 1}
\begin{theorem}[Solution de l'équation différentielle scalaire]\index{equation differentielle@Équation Différentielle!scalaire}
Si $y'=a(t) y + b(t)$, alors $S_I(\mathscr{L})$ est un sous-espace affine
\end{theorem}
\begin{proof}[Algorithmique]\label{ResolEquDiffScal1}
Par hypothèse, $a \in \mathcal{C}(I,\Reel{})$, donc $a(t)$ admet une primitive $P(t)=\int \limits_{t_0}^t a(s) \; ds$.
\[\arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{1}
\begin{array}{r c c l l c c}
\dfrac{\d}{\d t}\left( e^{-P(t)}\, y(t) \right) &=& -P'(t) & e^{-P(t)}y(t) &+& e^{-P(t)}& y'(t)\\
&=& \overbrace{-a(t)}&y(t)\, e^{-P(t)}&+& e^{-P(t)} &\left( \overbrace{\vphantom{{3^3}^3} a(t)\, y(t) +b(t)} \right)\\
&=& e^{-P(t)}b(t)\\
\end{array}\]
Si c'est intégrable, $\exists \; C$ tel que :
\[
\begin{array}{r c l}
e^{-P(t)}\, y(t) &=& \int \limits_{t_0}^t \left( \vphantom{{3^3}^3} e^{-P(u)}\, b(u) \: du + C \right)\\
y(t) &=& \int\limits_{t_0}^t \left( \vphantom{{3^3}^3} e^{-P(u)}\, b(u) \: du + C \right) e^{P(t)}
\end{array}
\] est solution de l'équation.
\end{proof}
%
\section{Équations Différentielles \emph{Vectorielles} d'ordre 1}
\subsubsection{Problème de \textsc{Cauchy}} % (fold)
\label{ssub:probleme_de_Cauchy}
\begin{dfn}[Équation Différentielle Vectorielle]\index{equation differentielle@Équation Différentielle!vectorielle}
    C'est une équation sous la forme 
\begin{equation}\label{equaDiffVect}\tag{$\mathscr{L}$}
    x'(t) = a(t) x(t) + b(t)
\end{equation}
où $a \in \mathcal{C}\left( I,\mathscr{L}(F)\right), \: b\in \mathcal{C}(I,F)$. \\Le \emph{Problème de \textsc{Cauchy}} \index{Probleme de cauchy@Problème de \textsc{Cauchy}} revient à trouver, pour tout $(t_0,x_0=x(t_0))$ dans $I \times F$, une solution $\varphi$ de \eqref{equaDiffVect}
\end{dfn}
\Attention{
$a$ est une application de $I$ dans \uline{$\mathscr{L}(F)$}. Donc $a(t)$ est une application linéaire, pas un scalaire}
% subsubsection probleme_de_Cauchy (end)
\section{Équations Différentielles linéaires du second ordre}
\needspace{5cm}
\begin{dfn}[Équation Différentielle Vectorielle]\index{equation differentielle@Équation Différentielle!du second ordre@du 2\ieme{} ordre}
    C'est une équation sous la forme 
\begin{equation}\label{eq:equaDiff2ndOrdre}\tag{$\mathscr{L}$}
    y''(t) + a(t) y'(t) + a(t)y(t)= \gamma (t)
\end{equation}
\hfill \\[0.5\baselineskip]
    L'équation homogène est
\begin{equation}\label{eq:equaDiff2ndOrdreHomogene}\tag{$\mathcal{H}$}
    y''(t) + a(t) y'(t) + b(t)y(t)= 0
\end{equation}
On note $f(r) = r^2 + a\times r + b$ %TODO: Créer un lien entre les constantes via TIKZ 
son polynôme caractéristique\index{polynome@Polynôme!caracteristique equa diff@caractéristique\emphi{ (Équation différentielle)}}
\end{dfn}
\subsection{Coefficients constants}
\begin{itheorem}[Résolution de l'équation]
Dans le cas de l'équation homogène \eqref{eq:equaDiff2ndOrdreHomogene}, on calcule le discriminant $\Delta$ du polynôme caractéristique. Suivant les cas, on a la solution $y(t)$ pour \uline{l'équation homogène} : 
\[
\begin{array}{r | l}
\Delta \neq 0 & y(t) = A e^{r_1t}+B e^{r_2t}\\
\hline
\Delta = 0 & y(t) = (A+Bt)e^{rt}
\end{array}
\]
Ou encore : 
\[
\begin{array}{r | l l}
\Delta > 0 & r_{\pm}=\alpha \pm \beta &y(t) = e^{\alpha t}\left( A\cdot \cosh(\beta t) + B\cdot \sinh (\beta t) \right)
\\
\hline
\Delta < 0 & r_{\pm}=\alpha \pm i\beta &y(t) = e^{\alpha t}\left( A\cdot \cos(\beta t) + B\cdot \sin (\beta t) \right)
\\
\hline
\Delta = 0 & r \text{ double}& y(t) = (A+Bt)e^{rt}
\end{array}
\]
\end{itheorem}
\begin{theorem}
    Si dans \eqref{eq:equaDiff2ndOrdre}, $\gamma (t)= P(t)e^{\lambda t}$, $P\in \Cmplx [X]$, alors on peut donner une solution :
    \begin{equation}
    t \mapsto t^{\omega(\lambda)}\, Q(t)e^{\lambda t}
    \end{equation}
    où $\omega(\lambda )$ est la multiplicité de $\lambda$ en tant que racine du polynome caractéristique de $f$ et $Q \in \Cmplx[X]$ est de même degré que $P$.
\end{theorem}
\chapter{Équations Différentielles non linéaires}
\section{Équations autonomes}
\begin{dfn}[Champ de Vecteur]
On appelle \emph{champ de vecteurs}\index{vecteur@\emphi{Champ de} Vecteur} l'application qui à un point $M \left( \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right)$ associe $\overrightarrow{V(M)} \left( \begin{matrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{matrix} \right)$ : 
\[
\begin{array}{r c l}
U\in \Reel{}^2 &\xrightarrow{\mathcal{C}^1} &\Reel{}^2\\
M\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & \mapsto &\overrightarrow{V(M)} \left( \begin{matrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{matrix} \right)
\end{array}
\]
\end{dfn}

\begin{dfn}[Système Autonome]
On appelle \emph{système autonome}\index{systeme@Système!autonome} associé au champ de vecteur $\overrightarrow{V(M)}$ le système différentiel 
\begin{empheq}[box=\ibox]{equation}
    \dfrac{\d M}{\d t}=\overrightarrow{V(M)}
\end{empheq}
\end{dfn}
Le mot \textit{autonome} témoigne de la non-dépendance en $t$ du champ de vecteur $\overrightarrow{V(M)}$
%
\begin{theorem}[\textsc{Cauchy-Lipshitz}\index{Cauchy-Lipshitz@\textsc{Cauchy-Lipshitz}} (\textit{admis})]
Avec les données précédentes, pour tout couple $\big( t_0, (x_0,y_0)\big) \in \left( I\times U \right)$, il existe une unique $I$-solution \uline{maximale} $\varphi : t \mapsto M(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$, telle que $\left| \begin{array}{l c r} x(t_0) &=& x_0 \\ y(t_0) &=& y_0 \end{array} \right. $
\end{theorem}

Une \emph{solution maximale}\index{Solution!maximale} est une solution qui n'est la restriction d'aucune autre. Son intervalle de définition est l'intervalle maximal.

\section{Équations non autonomes}
Dans cette section on appelle \emph{équation différentielle} : 
\begin{equation}\label{equaDiffNA}
x' = f(t,x)\tag{$\mathcal{E}$}
\end{equation}
où $f$ est une fonction de $\mathcal{C}^1(U,\Reel)$
\begin{theorem}[\textsc{Cauchy-Lipshitz}\index{Cauchy-Lipshitz@\textsc{Cauchy-Lipshitz}} (\textit{admis})]
$U$ un intervalle ouvert de $\Reel{}^2$, et en reprenant l'équation \eqref{equaDiffNA} : 
\[
    \forall (t_0,x_0) \in U, \exists ! \: \varphi \text{ telle que }
    \left|
    \begin{array}{l}
        \varphi \text{ soit \emph{solution maximale} de l'équation \eqref{equaDiffNA}}\\
        \varphi(t_0)=x_0
    \end{array}
    \right.
\]
\end{theorem}
%
%
\chapter{Calcul différentiel} % (fold)
\label{cha:calcul_differentiel}
% Je sais que le chapitre "Fonctions de plusieurs variables" est le même, 
% mais j'ai envie de tout refaire dans ce chapitre.
Dans ce chapitre, on se place dans $\left( E, N \right)$ et $\left( F,P \right)$, des espaces vectoriels normés de dimension finie. $U$ est un ouvert de $E$
\[
    \begin{array}{r c r c l}
    f&:& U &\to & F \\
     & & a &\mapsto & f(a)
    \end{array}
\]
\section{Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles} % (fold)
\label{sec:derivee_selon_un_vecteur_derivees_partielles}
\begin{dfn}[Dérivée selon un vecteur]
     Soit $f:U\to F$ la fonction définie précédemment.\newline
    Soit $v$ un vecteur non nul de $E$, et $t$ un réel tel que $a+tv \in U$. \\
    On dit que $f$ \emph{admet une dérivée selon le vecteur $v$ au point $a$} (ou admet une \emph{dérivée directionnelle}) si la fonction réelle $t\mapsto f(a+tv)$ est dérivable en $0$. Cette dérivée en $a$ est notée $D_vf(a)$. \newline
    On a alors : 
    \begin{equation}
    D_vf(a)=\lim_{\substack{t\rightarrow 0\\ t\neq 0}}\dfrac{f(a+\textcolor{Red}{t}v) - f(a)}{t}
    \end{equation}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Dérivées partielles dans une base]
     Soit $f:U\to F$ la fonction définie précédemment.\newline
     Soit $(e_1, \cdots ,e_n)$ une base de $E$. On appelle \emph{dérivée partielle}\index{Derivee@Dérivée!partielle} de $f$ dans $(e_n)_n$ ses dérivées par rapport aux vecteurs. La $i$-ième dérivée partielle en $a$ est notée $D_if(a)$ ou $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)$. Ainsi : 
     \begin{equation}
     \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=D_if(a)=\lim_{\substack{t\rightarrow 0\\ t\neq 0}}\dfrac{f(a+\textcolor{Red}{t}e_i) - f(a)}{t}
     \end{equation}
\end{dfn}
% section derivee_selon_un_vecteur_derivees_partielles (end)
\needspace{3cm}
\section{Différentielle} % (fold)
\label{sec:differentielle}
\subsection{Application différentiable} % (fold)
\label{sub:application_differentiable}
\begin{dfn}[Application différentiable au point $a$]
    Soit $f:U\to F$ la fonction définie précédemment.\newline
    On dit que $f$ est \emph{différentiable}\index{Differentiable@Différentiable} au point $a$ s'il existe une fonction linéaire $\d f(a) : E \to F$ telle que :
    \begin{equation}
    \forall h \in E, \ f(a + h) = f(a) + \d f(a)(h) + o(h)
    \end{equation}
\end{dfn}
\Attention{$\d f(a) \in \mathscr{L}(E,F)$ est une application linéaire de $E$ dans $F$. On l'applique sur un vecteur $h$ en notant $\d f(a)(h)$ ou $\d f(a)\cdot h$}
\begin{theorem}[$f$ dérivable en $a$]
     Soit $f$ la fonction définie précédemment. \newline
     Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ et est dérivable en $a$ selon tout vecteur. Sa dérivée selon le vecteur $v$ est alors : 
     \begin{equation}
     D_v f(a) = \d f(a)(v)
     \end{equation}
\end{theorem}
% subsection application_differentiable (end)
\subsection{Jacobien, Jacobienne} % (fold)
\label{sub:jacobien_jacobienne}
% TODO: À terminer
\begin{dfn}[Jacobienne, Jacobien]
  Soient $(e_i)_i$ et $(e'_i)_i$ deux bases de respectivement $E$ et $F$.\newline
  Soit $f=(f_j)_j$ la fontion définie précédemment telle que $f(x_1,\cdots,x_n) = \sum_i f_i (x_i)\cdot e'_i$. 
On définit la \emph{Jacobienne}\index{Jacobien@Jacobien(ne)} $\mathcal{J}_a(f)$ comme la matrice de terme général $j_{i,j}=\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}=D_jf_i(a)$. \newline
Le \emph{Jacobien} est le déterminant de cette matrice.
\end{dfn}

\textbf{Exemple :} La Jacobienne de la fonction polaire (qui à $(r,\theta )$ associe $(r\cdot \cos{\theta} , r\cdot \sin{\theta} )$) est $\begin{pmatrix}
\cos{\theta} & -r\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & r\cos{\theta}
\end{pmatrix}$. Son Jacobien est donc $r\left( \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} \right)=r$

% subsection jacobien_jacobienne (end)
% section differentielle (end)
\section{Opérations sur les applications différentiables} % (fold)
\label{sec:operations_sur_les_applications_differentiables}
\begin{itheorem}[Différentielle d'une composée d'applications]
Soient $E$,$F$ et $G$ trois espaces vectoriels \emphh{normés} \emphh{réels} de \emphhs{dimension finie}.\newline
Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que :
\[
    \begin{array}{r c l c l c l}
    f &:& E &\to& F \\
    g &:& & & F & \to & G 
    \end{array}
\]
Alors, la fonction $g \circ f$ est différentiable sur un ouvert de $E$ et :
     \begin{equation}
     \d (g\circ f)(a) = \d g\big( f(a)\big) \circ \d f(a)
     \end{equation}
     
\end{itheorem}
% section operations_sur_les_applications_differentiables (end)
\section{Cas des applications numériques} % (fold)
\label{sec:cas_des_applications_numeriques}
\subsection{Gradient} % (fold)
\label{sub:gradient}
\begin{dfn}[Gradient]
     Soit $E$ un espace euclidien, et $f$ une application allant de $U$ un ouvert de $E$ à $\Reel{}$. \\
     On appelle \emph{gradient}\index{Gradient} de $f$ en $a$ l'unique vecteur de $E$, noté $\Grad f(a)$, tel que :
     \begin{equation}
     \forall v\in E,\qquad \d f(a)\cdot v = \left( \Grad f(a) | u \right) 
     \end{equation}
\end{dfn}
\todo{Expression dans une base orthonormée}
\textbf{Remarque :} Parfois, le gradient de $f$ en $a$, $\Grad f(a)$, est aussi noté $\nabla f(a)$
% subsection gradient (end)
\subsection{Représentation des formes linéaires} % (fold)
\label{sub:representation_des_formes_lineaires}
\begin{dfn}[Dual d'un \gls{ev} réel] % D'après Vuibert
     Soit $E$ un espace euclidien. \\
     On appelle \emph{dual}\index{Dual} de $E$, et on note $\mathscr{L}(E,\Reel )$ ou $E^*$, l'ensemble des formes linéaires de $E$ dans $\Reel{}$.
\end{dfn}
\begin{theorem}[Représentation des formes linéaires]
     Soit $E$ un espace euclidien.\\
     Pour toute forme linéaire $f$ de $\mathscr{L}(E,\Reel )$ : 
     \begin{equation}
     \exists ! y,\, \forall x\in E,\qquad f(x) = (x|y)
     \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
     Pour tout $y \in E$, on peut associer l'application $\theta_y : x\mapsto (x|y)$. Cette application est linéaire. L'application \[ \left| \begin{array}{r c l c l} \theta &:& E &\to & \mathscr{L}(E,\mathbb{R})\\ && y &\mapsto& \theta_y \end{array}\right.\] est également linéaire. Son noyau $\mathrm{Ker}(\theta )$ étant nul, $\theta$ est injective. Mais $E$ et $\mathscr{L}(E,\mathbb{R})$ étant de même dimension, elle est donc \emphh{bijective}.\\
     Toute forme linéaire a donc un antécédant par $\theta$.\qed
\end{proof}
% subsection representation_des_formes_lineaires (end)
\subsection{Point critique} % (fold)
\label{sub:point_critique}
\begin{dfn}[Point critique]
     On appelle \emph{point critique}\index{Point critique} d'une application différentiable $f : E \to \Reel{}$ tout point de $E$ tel que 
     \begin{equation}
     \d f(a) = 0
     \end{equation}
\end{dfn}
\begin{dfn}[Extremum local]
     Soit $E$ un espace euclidien, et soit $f : E \to \Reel{}$. \\
     On dit que $f$ présente un \emph{extremum local}\index{Extremum!local} en un point $a$ si pour tout voisinage de $a$ : 
     \begin{subequations}
          \begin{align}
               \forall x\in V,\, & f(x) \le f(a) & \text{(Maximum local)}\\
               \forall x\in V,\, & f(x) \ge f(a) & \text{(Minimum local)}
          \end{align}
     \end{subequations}
\end{dfn}
\begin{itheorem}[Condition nécessaire d'éxistence d'extremum]
     Soit $E$ un espace euclidien, et soit $f : E \to \Reel{}$ une \emphh{fonction différentiable}. \\
     Si $f$ présente un extremum local en un point $a$, alors $\d f(a) = 0$.
\end{itheorem}
\Attention{La réciproque de ce théorème est fausse}
% subsection point_critique (end)
% section cas_des_applications_numeriques (end)
\section{Vecteurs tangents à une partie d'un espace normé de dimension finie} % (fold)
\label{sec:vecteurs_tangents_une_partie_d_un_espace_norme_de_dimension_finie}

% section vecteurs_tangents_une_partie_d_un_espace_norme_de_dimension_finie (end)
%\section{Applications de classe $\mathcal{C}^1$} % (fold)
%\label{sec:applications_de_classe_C1}

% section applications_de_classe_C1 (end)
%\section{Applications de classe $\mathcal{C}^k$} % (fold)
%\label{sec:applications_de_classe_C_k}

% section applications_de_classe_C_k (end)
% chapter calcul_differentiel (end)
\chapter{Fonctions de plusieurs variables}
\begin{methode}
\titre{Étude d'une fonction à deux variables} \newline
Passer en polaire
\end{methode}


Dans ce chapitre, on se place dans $\left( E, N \right)$ et $\left( F,P \right)$, des espaces vectoriels normés de dimension finie. $U$ est un ouvert de $E$
\[
    \begin{array}{r c r c l}
    f&:& U &\to & F \\
     & & a &\mapsto & f(a)
    \end{array}
\]

\section{Différentielle, dérivée}
\subsection{Différentielle}
\begin{dfn}[Différentielle]
Il existe \uline{au plus} un élément $\varphi$ de $\mathscr{L}(E,F)$ tel que
\[
    f(a+h) \underset{h\to 0}{=} f(a) + \varphi(h) + o(h)
\]
$\varphi$ est appelée la \emph{différentielle}\index{differentielle@Différentielle} de $f$. On la note $df(a)$
\end{dfn}

\textbf{Remarque :} $a$ et $h$ sont des \uline{vecteurs}. Donc sous la forme 
$a = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
$. De plus, $\varphi (h)$ est une application linéaire : $\varphi(h) \in \mathscr{L}\big( E,F\big)$

\subsection{Dérivée selon un vecteur}
\begin{dfn}[Dérivée en un point]
On note $\varphi_h : t \mapsto f(a+th)$. \\
$f$ admet une dérivée en $a$ selon $h$ si \uline{$\varphi_h$ est dérivable en $0$}. \\
Alors, on note cette dérivée $D_hf(a)=\varphi_h'$. Si elle existe : 
\begin{empheq}[box=\ibox]{equation}
D_hf(a)=\lim_{\substack{t\rightarrow 0\\ t\neq 0}}\dfrac{f(a+\textcolor{Red}{t}h) - f(a)}{t}
\end{empheq}
\end{dfn}
On a alors la dérivée pour tout $a$ définie par la fonction $D_hf : a \mapsto D_hf(a)$

\begin{dfn}[Application  de classe $\mathcal{C}^1$]
$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ si $\forall j \in [1,n], D_jf$ existe et est continue sur $U$
\end{dfn}


\begin{dfn}[$\mathcal{C}^k$-difféomorphisme]
$f$ (bijective) est un \emph{$\mathcal{C}^k$-difféomorphisme}\index{ck diffeomorphisme@$\mathcal{C}^k$-difféomorphisme} si elle et son inverse sont $\mathcal{C}^k$. C'est-à-dire : 
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
f \in \mathcal{C}^1\left( U,V \right) \\
f^{-1} \in \mathcal{C}^1\left( V,U \right)
\end{array}
\right.
\]
\end{dfn}

\section{Inversion locale}
\begin{itheorem}[Théorème d'inversion locale \textit{(admis)}]
\[
\begin{array}{c}
f \in \mathcal{C}(U,F)\text{ injective est }\mathcal{C}^k\text{-difféomorphisme } \\ 
    \Leftrightarrow \\
 \forall a \in U, df(a) \text{ isomorphisme de }E\text{ dans }F
\end{array}
\]
\end{itheorem}

\section{Complément sur les courbes planes} % (fold)
\label{sec:complement_sur_les_courbes_planes}
\begin{theorem}[Formule de \textsc{Green}-\textsc{Riemann}]
	 Un compact $D$ délimitée par un une courbe plane $\Gamma$ positivemment orientée et $\CM^1$. Soient $P$ et $Q$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert dans lequel $\Gamma$ est tracé. On admet la formule de \textsc{Green}-\textsc{Riemann}\index{Green-Riemann@\textsc{Green}-\textsc{Riemann}} : 
	 \begin{equation}
	 \iint \limits_D \left[ \dfrac{\partial Q}{\partial x} \textcolor{couleurImp}{-} \dfrac{\partial P}{\partial y}\right](x,y) \, \d x\, \d y = \int \limits_\Gamma P\d x + Q \d y
	 \end{equation}
\end{theorem}
% section complement_sur_les_courbes_planes (end)

\part{Géométrie} 
\section{Courbes Planes}
\subsection{En polaire}
\begin{dfn}[Fonction $\arg$]
\ibox{$\theta \mapsto e^{i\theta}$ est une bijection de $]-\pi , \pi [$ sur $\mathbb{U}\backslash \lbrace -1 \rbrace$} où $\mathbb{U}=\lbrace z \in \Cmplx | |z| = 1 \rbrace $\\
Sa réciproque est l'application $u \mapsto \arg(u)$\\
Si on prend $u \in \mathbb{U}$, en notant $ug=x+iy$, alors $\arg(u)=2\arctan \left( \dfrac{y}{x+1} \right)
$
\end{dfn}

\begin{itheorem}[Théorème du Relèvement]
Soit $f \in \mathcal{C}^n\left( I,\mathbb{U} \right)$ (avec $n \neq 0$). \\
$\exists \: \theta \in \mathcal{C}^n\left( I,\Reel \right)$ tel que $f(t) = e^{i\theta{}(t)}$. $\theta$ est appelé \emph{relèvement}\index{relevement@Relèvement} de $f$.
\end{itheorem}
%TODO: Finir la preuve (Prouver l'existence)
\begin{proof}
Si elle existe, $\theta$ n'est pas unique ($t \mapsto \theta(t) + 2\pi$ convient aussi).\\
Donc $f'(t) = i\theta{}' f(t) \Leftrightarrow \theta{}'(t)=-i\dfrac{f'(t)}{f(t)}$. \\
On peut alors intégrer : $\theta (t) = C - i \int \limits_{t_0}^t \dfrac{f'(u)}{f(u)}\; du$, et il ne reste plus qu'à prouver l'existence en ayant cette expression de $\theta{}(t)$
\end{proof}

\begin{dfn}[Tangente\index{Tangente}]
Si $\theta$ est une valeur régulière, on note $V$ l'angle $\left( \overrightarrow{u_{\theta}},\dfrac{\overrightarrow{\d M_\theta}}{\d\theta}  \right)$, et on définit \ibox{$\tan(V) = \dfrac{\rho (\theta)}{\rho '(\theta)}$}
\end{dfn}
\subsection{Étude d'une courbe paramétrée} % (fold)
\label{sub:etude_courbe_parametree}
\begin{methode}
\titre{Étude de courbes paramétrées}
Quelques conseils :
\begin{itemize}
	\item On essaye, si possible, de \emphh{passer en polaire}
	\item Ne pas oublier de vérifier les \emphh{ensembles de définition}
	\item Lors de l'étude \emph{au voisinage d'un point}, il suffit d'étudier les dérivées successives grâce à un \uline{développement limité}
\end{itemize}
\end{methode}
On a l'expression de $x$ et $y$ en fonction de $t$ : $x = f(t)$ et $y = g(t)$. Pour étudier la courbe : 
\begin{enumerate}
    \item Ensemble de \emph{définition} $\mathcal{D} = \mathcal{D}_f \bigcup \mathcal{D}_g$
    \item Étude des \emph{variations} : on étudie $x'$, $y'$ et $\dfrac{y'}{x'}$
    \item \emph{Branches infinies} 
    	\begin{itemize}
    		\item $x = \lim f$ ou $y = \lim g$ sont des asymptotes (avec $\lim f$ et $\lim g$ des limites finies)
    		\item Si, pour $t_0 \in \Reel{}$ les deux fonctions tendent \uline{simultanément} vers l'infini, on \emphh{étudie $\lim_{t \to t_0} \frac{y}{x}$}
    		\hfill \\
    		\begin{center}
    		\begin{tikzpicture}
    			 \draw[->, >=latex, color=couleurNoirClair] (-4,0) -- (4,0) node[below right]{$x$}; 
    			 \draw[->, >=latex, color=couleurNoirClair] (0,-2) -- (0,2) node[left]{$y$};
    			 \begin{scope}
    			 \clip (-4,-2) -- (-4,2) -- (4,2) -- (4,-2) ;
    			 \draw[thick] (0,1) -- ++(4,0) -- ++(-8,0) node[near end, below]{$\frac{y}{x} \xrightarrow[t \to t_0]{} 0$};
    			 \draw[thick] (3,0) -- ++(0,4) -- ++(0,-8) node[near end, above left]{$\frac{y}{x} \xrightarrow[t \to t_0]{} \infty$} ;
    			 \draw[color=couleurFonce!80!White, thick] (0,0.5) -- ++(20:8) -- ++(20:-16) (-2,-1.5) node{$\frac{y}{x} \xrightarrow[t \to t_0]{} a \in \Reel{}$};
    			 \end{scope}
    		\end{tikzpicture}
    		\captionof{figure}{Différents types d'asymptotes en fonction de $\frac{y}{x}$}
			\end{center}
    		\hfill \\
    		Dans le cas où $\frac{y}{x} \xrightarrow[t \to t_0]{} a \in \Reel{}$, on peut déterminer $b$ de l'équation $y = ax + b$ en examinant $y - ax$
    	\end{itemize}
%TODO Terminer étude des courbes polaires
\end{enumerate}
% subsection etude_courbe_parametree (end)
%\chapter{Les Quadriques}
%\chapter{Géométrie affine}
\part{Annexe}
\hfill \\
\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section{Équivalences}
Pour une définition de l'équivalence, \textit{cf.} définition \ref{equivalence} page \pageref{equivalence}
\begin{description}
\item[Formule de \textsc{Stirling}]\index{Stirling@\textsc{Stirling}} $\boxed{n!=\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}}$
\item[Équivalence de $\boldsymbol{\ln}$] $\dfrac{\ln(u)}{t^{\alpha}}\sim t^{\frac{\alpha+1}{2}}$
\item[Équivalents usuels en 0] \[
\arraycolsep=3pt\def\arraystretch{2.4}
\begin{array}{|r c l|r c r|r c l|}
\hline
\sin(u)& \underset{0}{\sim}& u & \cos(u)\textcolor{couleurFonce}{-1} &\underset{0}{\sim} & \textcolor{Red}{-} \dfrac{u^2}{2} & \ln(\emph{1+}u) &\underset{0}{\sim}& u \\
\hline
\sinh(u) &\underset{0}{\sim} &u & \cosh(u)\textcolor{couleurFonce}{-1} &\underset{0}{\sim} &\dfrac{u^2}{2} & e^u \textcolor{couleurFonce}{-1} &\underset{0}{\sim} & u \\
\hline
\end{array}
\]
\end{description}


\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section{Trigonométrie}
\subsection{Définition}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{equation}\label{def:cos}
\left\lbrace
\begin{array}{r c l}
\cos{x}&=&\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\
\sin{x}&=&\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
\end{minipage}\hspace{0.1\textwidth}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{equation}\label{def:cosh}
\left\lbrace
\begin{array}{r c l}
\cosh{x}&=&\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\
\sinh{x}&=&\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
\end{minipage}
%
\subsection{Addition / Produit}
\begin{equation}\label{trigo}
\begin{array}{r@{\, = \,}l @{\qquad}|@{\qquad} r@{\, = \,}l}
\cos (a+b) & \cos a \cos b - \sin a \sin b 
    & \cos (a+b) + \cos (a-b) & 2 \cos a \cos b \\
\cos (a-b) & \cos a \cos b + \sin a \sin b 
    & \cos (a+b) - \cos (a-b) & 2 \sin a \sin b \\
\sin (a+b) & \sin a \cos b + \cos a \sin b 
    & \sin (a+b) + \sin (a-b) & 2 \sin a \cos b \\
\sin (a-b) & \sin a \cos b - \cos a \sin b 
    & \sin (a+b) - \sin (a-b) & 2 \cos a \sin b
\end{array}
\end{equation}
\subsection{Dérivation} % (fold)
\label{sub:derivation_trigo}
Dérivées des fonctions trigonométriques : 
\begin{align*}
	 \tan' x 	&= \dfrac{1}{1 + \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \\
	 \arcsin' x &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\
	 \arccos' x &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
	 \arctan' x &= \dfrac{1}{1+x^2}
\end{align*}
% subsection derivation_trigo (end)
\subsection{Formule de \textsc{Moivre}} % (fold)
\label{sub:Moivre}
\begin{equation}
(\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i\sin (nx)
\end{equation}
% subsection Moivre (end)
\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section*{Généralités}
\begin{description}
\item[Conjugué] $z = -\overline{z} \Leftrightarrow z \in \Reel$
\item[Convexité] La fonction \textbf{exponentielle} est \textbf{convexe}, la fonction \textbf{logarithme} est \textbf{concave}
\end{description}
\needspace{5cm}
\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section*{Inégalités}
\begin{tabular}{ >{ \bfseries} r c c}
    Modules & $\left|\left|\sum_i x_i \right| \right| \le \sum_i \| x_i \|$& \\[5mm]
    Module d'intégrales & $\left| \int_I f \right| \le \int_I \left| f \right| $ & \eqref{eq:SommeIntegrale} \\[5mm]
    \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz} & $ (x|y)^2 \le (x|x)(y|y)$ & \eqref{eq:cauchy_swharz_scalaire} \\[3mm]
    Inégalité de la Moyenne & $m(b-a)\le \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \le M(b-a)$ & \eqref{eq:inegalite_de_la_moyenne}
\end{tabular} \\[3mm]
\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section{Formules usuelles} % (fold)
\label{sec:formules_usuelles}
\begin{tabular}{c@{$\; = \;$}l@{$\qquad$} | @{$\qquad$}l@{$\; = \;$}l}
    $a^k - b^k$&$(a-b) \left( \sum_{p=0}^{k\textcolor{couleurImp}{-1}} a^p b^{k-1-p} \right) $ &
    $\sum_{k=1}^n k$    & $\dfrac{n(n+1)}{2}$ \\[6mm]
    $\sum_{k=1}^n k^2$  & $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ &
    $\sum_{k=1}^n k^3$  & $\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ \\[3mm]
\end{tabular} \\[6mm]
% section formules_usuelles (end)
\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section{Espaces vectoriels} % (fold)
\label{sum:espaces_vectoriels}
   Espaces vectoriels normés usuels : \newline
   $\mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n$, $\mathbb{R}_n[X], \mathbb{C}_n[X]$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $\mathcal{C}^n(I, \mathbb{R})$
   \\ 
%  sum:espaces_vectoriels (end)
\rule{\columnwidth}{0.5pt}
\section{Astuces}
\begin{description}
\item[Primitives de $1$] Dans une IPP, on peut primitiver $1$ par $1+x$ pour enlever un terme au dénominateur. \textit{Exemple : $\left( \ln(1+x)\right) ^n$}
\item[Fontion $\boldsymbol{k}$-lipschitzienne\index{Lipschitzienne@$k$-lipschitzienne}] Il suffit de montrer que $\exists k\in \Reel$ tq \ibox{$|f'(t)| \le k$}
\item[Inverse d'une Matrice $\boldsymbol{2\times 2}$] Si $M = \begin{pmatrix}
a & b \\ 
c & d
\end{pmatrix}$, alors $M^{-1} =  \dfrac{1}{da - bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\ 
-c & a
\end{pmatrix}$
\item[Dérivée de $\boldsymbol{a^x}$] On a $a^x = e^{x \ln (a)} $, donc sa dérivée est \ibox{$\ln(a) \times a^x$}
%TODO: cf. Feuille 12
\end{description}
\rule{\columnwidth }{0.5pt}

\printnoidxglossary[type=\acronymtype,style=longragged,title={Liste des acronymes}]
%\printindex
\end{document}