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@@ -75,11 +75,11 @@ $$\{X_j:j\in J\}$$
 ## 1.2 arrival process
 
 어떤 사건(arrival)이 시간 $t\ge0$에 따라 반복적으로 일어나면 이것을 arrival process라고 부릅니다.
-만약 사건이 시각 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $\cdots$ 에서 일어난다면 다음과 같은 그림으로 arrival process의 상황을 표현할 수 있습니다.
+만약 사건이 시각 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $\cdots$ 에서 일어난다면 ($S_1<S_2<S_3<\cdots$) 다음과 같은 그림으로 arrival process의 상황을 표현할 수 있습니다.
 
 ![]({{site.url}}\images\2024-03-15-mm1_queue\Si.png){: .img-80-center}
 
-사건이 일어나는 시점 $S_i$이 일정하게 결정되어 있지 않고 확률적으로 발생한다면, 각각의 실수 $S_i$는 확률변수로 해석될 수 있습니다.
+사건이 일어나는 시점 $S_i$가 일정하게 결정되어 있지 않고 확률적으로 발생한다면, 각각의 실수 $S_i$는 확률변수로 해석될 수 있습니다.
 따라서 arrival process는 확률변수 $S_i$들의 집합
 
 $$\{S_i:i=1,2,3,\cdots\}\tag{2}$$
@@ -114,11 +114,11 @@ $$\{X_i:i=1,2,3,\cdots\}\tag{3}$$
 $N_t$는 확률변수입니다.
 따라서 arrival process는 확률변수 $N_t$들의 집합
 
-$$\{N_t:t\ge0,\cdots\}\tag{4}$$
+$$\{N_t:t\gt0\}\tag{4}$$
 
 으로도 표현될 수 있습니다.
 이때의 index set은 양의 실수의 집합입니다.
-즉, 위의 그림에서는 편의상 $t$가 자연수인 경우만을 나타냈는데, 임의의 양수 $t$에 대하여 확률변수 $N_t$가 존재합니다.
+즉, 위의 그림에서는 편의상 $t$가 자연수인 경우만을 나타냈는데, 임의의 양수 $t$에 대하여 확률변수 $N_t$를 생각할 수 있습니다.
 
 종합하면, arrival process는 확률과정의 일종인데, (2), (3), (4)의 서로 다른 세 방식의 확률과정으로 해석할 수 있습니다.
 
@@ -138,11 +138,11 @@ $X_i$들이 서로 독립적이면서 확률분포가 일정한 (IID, independen
 
 ## 1.4 Poisson process
 
-$X_i$들의 PDF가
+모든 $i$에 대하여 $X_i$의 PDF가
 
 $$f_{X_i}(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad(x\ge0)$$
 
-로 주어지는 renewal process를 Poisson process라고 부릅니다.
+로 일정하게 주어지는 renewal process를 Poisson process라고 부릅니다.
 이때, $\lambda\gt0$는 상수입니다.
 이 분포를 지수분포(exponential distribution)라고 부르므로, Poisson process는 사건이 일어나는 시간의 간격이 지수분포를 이루는 경우를 말한다고 할 수 있습니다.
 
@@ -512,49 +512,39 @@ $m$이 충분히 크면, 구간 $\left[t, t+\frac1m\right]$동안 arrival 또는
 
 $$
 \begin{align*}
-p_0\left(t+\frac1m\right)&=\left(1-\frac\lambda m\right)p_0(t)+\frac\mu mp_1(t)\\
-p_1\left(t+\frac1m\right)&=\frac\lambda mp_0(t)+
-\left(1-\frac\lambda m\right)\left(1-\frac\mu m\right)p_1(t)+\frac\mu mp_2(t)\\
-p_2\left(t+\frac1m\right)&=\frac\lambda mp_1(t)+
-\left(1-\frac\lambda m\right)\left(1-\frac\mu m\right)p_2(t)+\frac\mu mp_3(t)\\
+p_0\left(t+\tfrac1m\right)&=\left(1-\tfrac\lambda m\right)p_0(t)+\tfrac\mu mp_1(t)\\
+p_1\left(t+\tfrac1m\right)&=\tfrac\lambda mp_0(t)+
+\left(1-\tfrac\lambda m\right)\left(1-\tfrac\mu m\right)p_1(t)+\tfrac\mu mp_2(t)\\
+p_2\left(t+\tfrac1m\right)&=\tfrac\lambda mp_1(t)+
+\left(1-\tfrac\lambda m\right)\left(1-\tfrac\mu m\right)p_2(t)+\tfrac\mu mp_3(t)\\
 &\vdots
 \end{align*}
 $$
 
-다시 말해, $K_{t+\frac1m}=0$인 경우는 $K_t=0$이면서 arrival이 발생하지 않는 $\left(1-\frac\lambda m\right)$ 경우이거나 $K_t=1$이면서 departure가 발생하는 $\left(\frac\mu m\right)$ 경우로 나뉠 수 있습니다.
-또한, $K_{t+\frac1m}=1$인 경우는 $K_t=0$이면서 arrival이 발생한 $\left(\frac\lambda m\right)$ 경우이거나 $K_t=1$이면서 arrival이나 departure가 모두 발생하지 않거나 $\left(1-\frac\lambda m\right)\left(1-\frac\mu m\right)$ 아니면 $K_t=2$이면서 departure가 발생한 경우$\left(\frac\mu m\right)$로 나뉠 수 있습니다.
+다시 말해, $K_{t+\frac1m}=0$인 경우는 $K_t=0$이면서 arrival이 발생하지 않는 $\left(1-\tfrac\lambda m\right)$ 경우이거나 $K_t=1$이면서 departure가 발생하는 $\left(\tfrac\mu m\right)$ 경우로 나뉠 수 있습니다.
+또한, $K_{t+\frac1m}=1$인 경우는 $K_t=0$이면서 arrival이 발생한 $\left(\tfrac\lambda m\right)$ 경우이거나 $K_t=1$이면서 arrival이나 departure가 모두 발생하지 않거나 $\left(1-\tfrac\lambda m\right)\left(1-\tfrac\mu m\right)$ 아니면 $K_t=2$이면서 departure가 발생한 경우$\left(\tfrac\mu m\right)$로 나뉠 수 있습니다.
 
 조금 더 일반적으로 쓰면 다음과 같습니다.
 즉, $K_{t+\frac1m}$의 확률질량함수는 $K_t$의 확률질량함수로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
 
 $$
 \begin{align*}
-p_k\left(t+\frac1m\right)
-&=\left(1-\frac\lambda m\right)p_k(t)+\frac\mu mp_{k+1}(t)
+p_k\left(t+\tfrac1m\right)
+=&\left(1-\tfrac\lambda m\right)p_k(t)+\tfrac\mu mp_{k+1}(t)
 &&(k=0)\\
-p_k\left(t+\frac1m\right)
-&=\frac\lambda mp_{k-1}(t)+\left(1-\frac\lambda m\right)\left(1-\frac\mu m\right)p_k(t)+\frac\mu mp_{k+1}(t)
-&&(k=1,2,3,\cdots)
+p_k\left(t+\tfrac1m\right)
+=&\tfrac\lambda mp_{k-1}(t)+\left(1-\tfrac\lambda m\right)\left(1-\tfrac\mu m\right)p_k(t)+\tfrac\mu mp_{k+1}(t)
+&&(k\ge1)
 \end{align*}\tag{14}
 $$
 
 그러니까, $m$이 충분히 크면 $K_{t+\frac1m}=k$인 경우는 $K_t=k-1$, $K_t=k$, $K_t=k+1$인 경우에서만 발생할 수 있다고 가정하고 있는 것입니다.
 
-<div class="notice--info">
-
-그런 의미에서 wikipedia에서는 M/M/1 queue model이 다음과 같은 (tridiagonal) transition matrix $Q$로 표현할 수 있다고 서술하고 있습니다.
-
-<div style="text-align : center; padding: 50px 1px 50px 1px;">
-    <img src="{{site.url}}\images\2024-03-15-mm1_queue\transition_matrix.png" alt="transition_matrix" width="500"/>
-</div>
-
-</div>
-
 식 (13)를 변형하면 $k=0$일 때,
 
 $$
 \begin{align*}
-p_k\left(t+\frac1m\right) - p_k(t)
+p_k\left(t+\tfrac1m\right) - p_k(t)
 &=-\frac\lambda m p_k(t) + \frac\mu mp_{k+1}(t)\\
 \frac{p_k\left(t+\frac1m\right) - p_k(t)}{\frac1m}
 &=-\lambda p_k(t)+\mu p_{k+1}(t)
@@ -571,10 +561,10 @@ $$
 
 $$
 \begin{align*}
-p_k\left(t+\frac1m\right) - p_k(t)
-&=\frac\lambda mp_{k-1}(t)+\left(-\frac\lambda m-\frac\mu m+\frac{\lambda\mu}{m^2}\right)p_k(t)+\frac\mu mp_{k+1}(t)\\
-\frac{p_k\left(t+\frac1m\right) - p_k(t)}{\frac 1m}
-&=\lambda p_{k-1}(t)+\left(-\lambda-\mu+\frac{\lambda\mu}m\right)p_k(t)+\mu p_{k+1}(t)
+p_k\left(t+\tfrac1m\right) - p_k(t)
+&=\frac\lambda mp_{k-1}(t)+\left(-\tfrac\lambda m-\tfrac\mu m+\tfrac{\lambda\mu}{m^2}\right)p_k(t)+\tfrac\mu mp_{k+1}(t)\\
+\tfrac{p_k\left(t+\tfrac1m\right) - p_k(t)}{\tfrac 1m}
+&=\lambda p_{k-1}(t)+\left(-\lambda-\mu+\tfrac{\lambda\mu}m\right)p_k(t)+\mu p_{k+1}(t)
 \end{align*}
 $$
 
@@ -585,7 +575,7 @@ p_k'(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\left(-\lambda-\mu\right)p_k(t)+\mu p_{k+1}(t)
 $$
 
 입니다.
-정리하면 확률변수 $K_t$에 대한 확률질량함수 $p_k(t)$는 다음과 같은 system of differential equations로 표현될 수 있습니다 ;
+정리하면 확률변수 $K_t$에 대한 확률질량함수 $p_k(t)$는 다음과 같은 연립미분방정식으로 표현될 수 있습니다 ;
 
 $$
 \begin{align*}
@@ -594,10 +584,20 @@ p_k'(t)
 &&(k=0)\\
 p_k'(t)
 &=\lambda p_{k-1}(t)+\left(-\lambda-\mu\right)p_k(t)+\mu p_{k+1}(t)
-&&(k=1,2,3,\cdots)
+&&(k\ge1)
 \end{align*}\tag{15}
 $$
 
+<div class="notice--info">
+
+그런 의미에서 wikipedia에서는 M/M/1 queue model이 다음과 같은 rate transition matrix $Q$로 표현할 수 있다고 서술하고 있습니다.
+
+<div style="text-align : center; padding: 50px 1px 50px 1px;">
+    <img src="{{site.url}}\images\2024-03-15-mm1_queue\transition_matrix.png" alt="transition_matrix" width="500"/>
+</div>
+
+</div>
+
 ## 2.4 stationary system
 
 연립미분방정식 (15)를 통해 $p_k(t)$의 해를 analytic하게 구할 수 있습니다.
@@ -678,7 +678,7 @@ $$
 \pi_0+\pi_1+\pi_2+\cdots=1
 $$
 
-이고
+이고 (16)을 적용하면
 
 $$
 \frac{\pi_0}{1-\rho}=1
@@ -689,19 +689,19 @@ $$
 $$\pi_0=1-\rho$$
 
 이기 때문입니다.
-이것을 (16)에 적용시키면
+따라서
 
 $$
 \pi_k = (1-\rho)\rho^k\quad k=0,1,2,\cdots\tag{17}
 $$
 
-을 얻을 수 있습니다.
+입니다.
 
 ## 2.5 The expectation of $K$
 
 이전 절에서 $K$는 평형상태에서의 대기열의 길이라고 했습니다.
 이때, $K$는 확률변수였습니다.
-$\lambda\lt\mu$인 상태를 가정하고 있으므로 대기열 없이 customer가 빠지는 경향을 보이게 되겠지만, 그렇다고 하더라도 $K$는 임의의 nonnegative 정수 값을 가질 수 있습니다.
+$\lambda\lt\mu$인 상태를 가정하고 있으므로 대기열이 점점 줄어드는 경향을 보이게 되겠지만, 그렇다고 하더라도 평형상태에서 $K$는 임의의 nonnegative 정수 값을 가질 수 있습니다.
 그러니까, $K$는 $0$, $1$, $2$, $\cdots$의 값을 가질 가능성이 있습니다.
 그리고 각각의 값 $k$를 가질 확률을 나타내는 확률질량함수가
 
@@ -738,6 +738,7 @@ $$
 \sum_{k=1}^\infty k\rho^k=\frac1{(1-\rho)^2}\tag{18}
 $$
 
+입니다.
 이제 $\mathbb E[K]$를 계산하면
 
 $$
@@ -746,10 +747,7 @@ $$
 &=\sum_{k=0}^\infty kP(K=k)\\
 &\stackrel{(17)}=\sum_{k=0}^\infty k(1-\rho)\rho^k\\
 &=(1-\rho)\sum_{k=0}^\infty k\rho^k\\
-&=(1-\rho)\sum_{k=1}^\infty k\rho^k\\
-&=\rho(1-\rho)\sum_{k'=0}^\infty k'\rho^{k'}\\
-&\stackrel{(18)}=\rho(1-\rho)\frac1{(1-\rho)^2}\\
-&=\frac\rho{1-\rho}
+&\stackrel{(18)}=\frac\rho{1-\rho}
 \end{align*}
 $$
 
@@ -759,7 +757,7 @@ $$
 # 3. 마치며
 
 지금까지 M/M/1 queue에서 대기열의 길이의 평균을 구하는 식을 유도해보았습니다.
-여러 참고문헌들에 비해서 꽤 많은 내용이 빠져있고, 유튜브 영상에 비해서는 자세히 적었습니다.
+여러 참고문헌들에 비해서는 꽤 많은 내용이 빠져있고, 유튜브 영상에 비해서는 자세히 적었습니다.
 
 조금 더 글을 보완한다면 식 (15)에 대한 analytic한 해를 구해보고 관련된 Bessel function에 대한 내용을 적을 수 있을 것입니다.
 또, stationary 조건에 대해 조금 더 엄밀하게 적을 필요가 있을 수도 있습니다.