Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica del corso di studi in Fisica dell'Università di Pisa negli anni accademici dal 2017/18 al 2022/23.
Le note (come il corso a cui fanno riferimento) riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile reale. Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, successioni ricorsive, il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Viene fatta un minimo di analisi funzionale allo scopo di considerare, come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari).
Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione.
L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è
possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione.
Troveremo, ad esempio,
definizioni equivalenti della funzione esponenziale e
delle funzioni trigonometriche (con
Il primo capitolo, dedicato ai sistemi formali, alla costruzione
degli insiemi numerici e alla definizione delle funzioni elementari,
vorrebbe dare fondamento matematico a tutte quelle nozioni che
lo studente dovrebbe avere già appreso nel curriculum scolastico.
Alcuni argomenti trattati nel primo capitolo possono risultare
di difficile comprensione in quanto molto tecnici:
si potranno comunque saltare in quanto trattano di concetti
che almeno intuitivamente dovrebbero risultare già noti.
In particolare la definizione assiomatica dell'insieme
dei numeri reali risulta probabilmente molto diversa da
come viene usualmente svolta nella maggior parte dei libri di testo
che introducono all'analisi matematica:
invece di assumere le proprietà di campo (e quindi l'esistenza
a priori delle due operazioni di addizione e moltiplicazione)
si considera solamente l'operazione di addizione
mentre la moltiplicazione viene costruita di conseguenza.
Questo approccio è giustificato dall'osservazione che
la costruzione della moltiplicazione è esattamente la stessa
costruzione che viene usualmente utilizzata per costruire
l'operazione di elevamento a potenza.
Dunque lo stesso teorema astratto
(isomorfismo dei gruppi totalmente ordinati densi e continui)
viene utilizzato per costruire la moltiplicazione,
le funzioni esponenziali e le funzioni trigonometriche.
Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse
è presente un QR-code (un quadrato formato da una nuvola di pixel)
che permette di accedere alla figura
online e modicarne i parametri.
Di seguito in questa pagina trovate l'elenco
con i collegamenti alle figure interattive.
Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che in forma di sorgente LaTeX. Il materiale è costantemente in evoluzione e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è benvenuto!
Releases (PDF format) are available at the github repository: https://github.com/paolini/AnalisiUno/tags
files README.md and docs/index.html are created from sources with the command:
bash make-docs.sh
the pdf file can be obtained with the command:
latexmk --pdf AnalisiUno
The Makefile should automate the previous commands.
docker run -it -w /app -v "${PWD}:/app" ghcr.io/xu-cheng/texlive-full latexmk --pdf AnalisiUno -file-line-error -halt-on-error -interaction=nonstopmode